Si $w$ se encuentra en débil $A_{\infty}(d\mu)$ donde $d\mu$ es una medida de duplicación, entonces es $w\,d\mu$ ¿Doblar?

Question

Dejemos que $\mu$ sea una medida de Borel positiva sobre $\mathbb{R}^n$ y que se duplique, es decir, que exista una constante $C>1$ tal que $\mu(B(x_0, 2r)) \leq C \mu(B(x_0,r))$ para todas las bolas $B(x_0,r)$ . Dejemos que $w$ sea un peso con respecto a $\mu$ es decir $w\in L^1_\text{loc}(\mathbb{R^n}, d\mu)$ y $w>0$ $\mu$ a.e. Considere la medida $w\,d\mu$ y que

$$w(A) = \int_A w\,d\mu $$ para cualquier conjunto medible $A$ . Supongamos que existen constantes $\alpha$ y $\beta$ con $0<\alpha, \beta <1$ de manera que siempre que $E\subset B$ es un subconjunto medible de la bola $B$ y satisface

$$ \frac{\mu(E)}{\mu(B)} >\alpha \quad \text{ then} \quad \frac{w(E)}{w(B)} > \beta$$

Pregunta: ¿Es la medida $wd\mu$ ¿doblamiento? es decir, ¿hay una constante $C>1$ tal que $w(B(x_0,2r))\leq Cw(B(x_0,r))$ para todas las bolas $B(x_0,r)$ ?

$$ $$

Antecedentes: Esta es la caracterización de los débiles $A_\infty$ pesos de $d\mu$ . La cuestión es que si $\mu$ es la medida de Lebesgue, entonces no hay problema. Sin embargo, para las medidas generales de duplicación $\mu$ esto me parece complicado ya que no tenemos control sobre el valor de $\alpha$ (Obsérvese, en particular, que $\mu(B)/\mu(2B)$ puede ser bastante pequeño en comparación con $\alpha$ que hace que la propiedad dada sea difícil de usar).

Stein en su análisis armónico sólo tiene $\mu$ como la medida de lebesgue y Journe en el libro sobre Operadores de Calderón Zygmund, dice que esto es obvio pero yo soy escéptico. Lo mejor que pude hacer fue que $w$ tiene que satisfacer una desigualdad inversa del titular (sólo adaptando la prueba en Stein), pero aún con esto no sé cómo demostrar la duplicación.

Answer 1

Seguramente sabes que la condición de duplicación se puede plantear de forma equivalente con cualquier otro número $>1$ en lugar de $2$ . De hecho, la desigualdad $\mu(\lambda B)\le C\mu(B)$ implica $\mu(\lambda^kB)\le C^k \mu(B)$ para todos los enteros positivos $k$ . Por lo tanto, podemos actualizar desde cualquier factor de escala $\lambda>1$ a un factor de escala arbitrariamente grande $\lambda^k$ .

Su preocupación por $\mu(B)/\mu(2B)$ siendo pequeño en comparación con $\alpha$ puede abordarse sustituyendo $2$ con un factor de escala menor.

Lema . Si $\mu$ se duplica, entonces para cada $\epsilon>0$ hay $\lambda >1 $ tal que para cada bola $B$ tenemos $$\mu(\lambda B)< (1+\epsilon) \mu(B)$$ donde como siempre, $\lambda B$ significa una bola concéntrica a escala.

Para utilizar el lema, tome $1+\epsilon = \alpha^{-1}$ y concluir que $w(\lambda B)< \beta^{-1} w(B)$ que es la propiedad de duplicación deseada. Por lo tanto, sólo tenemos que demostrar el lema.

La prueba, naturalmente, consiste en medir algunas cáscaras esféricas. Podemos suponer que todo está centrado en $0$ . Escriba $A(r,R) = \{x: r< |x|\le R\}$ . Resulta que las cáscaras esféricas adyacentes de igual grosor tienen aproximadamente la misma medida:

Reclamación . Si $\mu$ se duplica, entonces existe $M$ tal que para cada $r\ge 0$ y cada $h>0$ ,
$$M^{-1}\le \frac{\mu(A(r,r+h))}{\mu(A(r+h,r+2h))} \le M\tag1$$

En efecto, dejemos que $\{p_i\}$ sea un máximo $h$ -subconjunto separado de $A(r+h/3,r+2h/3)$ . En $h$ -según los medios separados $|p_i-p_j|\ge h$ para todos $i\ne j$ . Como las bolas $B(p_i,h/3)$ son subconjuntos disjuntos de $A(r,r+h)$ tenemos
$$\sum_{i} B(p_i,h/3) \le \mu(A(r,r+h))$$

La maximización de $\{p_i\}$ implica que las bolas $ B(p_i, h )$ portada $A(r+h/3,r+2h/3)$ . Por lo tanto, las bolas $B(p_i, 3h )$ portada $A(r+h,r+2h)$ . Por la condición de duplicación, $$\mu(A(r+h,r+2h))\le \sum_{i} B(p_i, 3h ) \le C^4\sum_{i} B(p_i, h/3 )\le C^4\mu(A(r,r+h))$$ Esto demuestra la primera desigualdad en (1); la otra se demuestra exactamente de la misma manera. $\qquad \Box$

El lema es una consecuencia fácil de la afirmación, así que voy a agitar un poco las manos. Dada una bola, digamos $B=\{|x|\le r\}$ dividirlo en dos cáscaras esféricas de igual grosor, $A(0,r/2)$ y $A(r/2,r)$ . Según la afirmación, cada uno recibe una parte "justa" de la medida, por lo que la medida de cada uno es sensiblemente menor que la medida de la bola. Continuando con este proceso de división, encontramos que $\mu(A(r-r/2^k,r))<\epsilon M^{-1}\mu(B)$ cuando $k$ es suficientemente grande (sólo depende de $M,\epsilon$ ). Utilizando de nuevo la afirmación, obtenga $\mu(A(r,r+r/2^k))<\epsilon\mu(B)$ . Así, $\lambda = 1+2^{-k}$ funciona.