Probar que: Cada $\sigma$-finito medida es semifinite.

Question

Estoy tratando de probar todos los $\sigma$-finito medida es semifinite. Esto es lo que he intentado:

Definición de $\sigma$-finitud: Vamos a $(X,\mathcal{M},\mu)$ es una medida de espacio. Entonces, para $E_i \in \mathcal{M}$, $X = \bigcup_{i=1}^{\infty}E_i$ donde $\mu(E_i) < \infty$.

Definición de semifiniteness: Para cada una de las $E \in \mathcal{M}$ con $\mu(E) = \infty$ $\exists$ $F \subset E$ y $F \in \mathcal{M}$$0 < \mu(F) < \infty$.

Así que, tome $A$ s.t. $\mu(A) = \infty$. Sabemos $X \cap A = A$. A continuación, $A = A \cap \bigcup E_j$ por lo tanto $A = \bigcup E_j \cap A$. Por subadditivity,

$$\infty = \mu(A) = \mu\left(\bigcup E_j \cap A\right) \leq \sum_1^{\infty} \mu(E_j \cap A) $$

OK, yo estoy aquí. Pero no entiendo cómo continuar, o incluso este es un enfoque correcto. Gracias.

Answer 1

Podemos encontrar $n$ tal que $\mu\left(A\cap\bigcup_{j=1}^NE_j\right)>0$, y tenemos $\mu\left(A\cap\bigcup_{j=1}^NE_j\right) < \mu(A) < \infty$. Además, $A\cap\bigcup_{j=1}^NE_j\subset A$, lo $\mu$ es semi-finito.

El recíproco no es cierto: contar medida en los subconjuntos de a $[0,1]$ es semi-finito pero no $\sigma$-finito.