Supongamos $f$ $g$ son polinomios en $n$ variables $n\ge 2$, sobre un campo $E$. Supongamos, además, que $f$ $g$ son relativamente primos $E$. Si $F$ es un campo de extensión de $E$, se $f$ $g$ todavía relativamente primos $F$?
Respuesta
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Sí, si usted me deja utilizar algunos de geometría algebraica (no es realmente necesario, también escribo todo lo que necesitas en algebraicas termias entre paréntesis, pero lo que realmente ayuda a la intuición).
En primer lugar, podemos suponer que $f$ $g$ son irreductibles, esto claramente implica la declaración general. Ahora, también podemos suponer $F/E$ algebraicas: si no, el uso de Gauss, lema, podemos ver que $f$ $g$ siendo el primer y relativamente primos en $E(\{y_j\}_{j\in J})[x_i]$ (donde $\{y_j\}_{j\in J}$ es un trascendence), debido a que $E[\{y_j\}_{j\in J}]$ es un UFD.
Ahora, llame a $X=\operatorname{Spec~(E[x_i]}/(f,g))$. $X$ (o $E[x_i]/(f,g)$ si no te gusta esquemas) tiene dimensión $n-2$, debido a $f$ $g$ son relativamente primos y por lo $V(f)$ $V(g)$ no tienen componentes comunes (o $g$ no es un cero-divisor en $E[x_i]/(f)$).
$F/E$ es una extensión algebraica, por lo tanto $X_F\to X$ (o $F[x_i]/(f,g)\supseteq E[x_i]/(f,g)$) es integral, por lo que conserva dimensión. Pero si $h\in F[x_i]$ divide tanto a a$f$$g$, se describe un subscheme de $X_F$ de la dimensión de $n-1$ (o define un coeficiente de $F[x_i]/(h)$ $F[x_i]/(f,g)$ de la dimensión de $n-1$).
