Comportamiento asintótico de las soluciones a $\sin x = (\log x)^{-1}$

Question

Me disculpo de antemano por la longitud.

La ecuación de $\sin x = (\log x)^{-1}$ tiene exactamente una solución de $x_n$ en el intervalo de $(2\pi n,2\pi n + \pi/2)$$n \geq 1$, y en el ejercicio (de Bruijn, Asintótica de los Métodos de Análisis, ch. 2) me pide que muestran que

$$ x_n = 2\pi n + (\log 2\pi n)^{-1} + O((\log 2 \pi n)^{-3}). $$

Para empezar, tenemos $0 < x_n - 2 \pi n < 1$ y

$$ \pecado x_n = \sin (x_n - 2 \pi n) = (\log x_n)^{-1} \to 0, $$

por lo $x_n \to 2 \pi n$. Tendría sentido, a continuación, para hacer la sustitución de $x_n = z + t$ donde $t = 2 \pi n$, por lo que ahora estamos preocupado por encontrar el comportamiento asintótico de $z$ en términos de $t$ $t \to \infty$ en la ecuación

$$ \sen z = (\log (z + t))^{-1}. $$

Es decir, queremos mostrar que

$$ z = (\log t)^{-1} + O((\log t)^{-3}). $$

Hasta ahora sólo he sido capaz de demostrar que $z = O((\log t)^{-1})$ a través de argumentos que son, probablemente, no sonido.

He intentado aplicar el Lagrange de la Inversión de la Fórmula, pero me parece que no puede obtener en la forma correcta. Si dejamos $w = \log t$,$w = \frac{z}{f(z)}$, donde

$$ f(z) = \frac{z}{\log(e^{1/\sen z} - z)}. $$

Pero $f(0) = 0$ (y, probablemente, más importante aún, $f$ no es analítica en $0$), por lo que no se puede aplicar de Lagrange. Por supuesto, puede haber una manera "correcta" para reorganizar la ecuación para ponerlo en forma de Lagrange.

También he analizado la posibilidad de aplicar el método de Newton, pero no sé si eso es válido. La aplicación del método a $(\log (z + t))^{-1} - \sin z$ $z_0 = 0$ I get

$$ z_1 = - (\log t)^{-1} ( 1 + O((t \log t)^{-2})), $$

que al menos tiene el derecho de comportamiento asintótico en el primer término. Tratando de recorrer el uso de, por ejemplo, $x_0 = (\log t)^{-1}$ en la esperanza de conseguir más estable términos me lleva a una pared de la computación, y dudo que ese sea el objetivo del problema. Lo que es más importante, incluso si lo hiciera obtener una estabilidad asintótica de la serie como yo seguía a repetir, no sé si estoy realmente convergen a la raíz real de la ecuación.

Por último debo mencionar que también he tratado de dejar a $z = x_n(2 \pi n)^{-1} - 1$, pero este no parecía llevar a cualquier lugar útil.

Algún consejo?

Answer 1

Así que... $\sin(z_n)=(\log(2\pi n+z_n))^{-1}$ y se demostró que $z_n=o(1)$.

Esto implica que $\log(2\pi n+z_n)=\log(2\pi n)+\log(1+z_n/(2\pi n))=\log(2\pi n)+o(1/n)$ y $\sin(z_n)=z_n+O(z_n^3)$. Por lo tanto, utilizando la notación $\ell_n=(\log(2\pi n))^{-1}$, $$ z_n+O(z_n^3)=\frac1{1/\ell_n+o(1/n)}=\frac{\ell_n}{1+o(\ell_n/n)}=\ell_n+o(\ell_n^2/n). $$ Mantener sólo los términos de orden superior, esto demuestra que $z_n=\ell_n+o(\ell_n)$. Mantener todos los términos, esto demuestra que $$ z_n=\ell_n+O(\ell_n^3)+o(\ell_n^2/n). $$ Por último, desde el $1/n\ll\ell_n$, el plazo $o(\ell_n^2/n)$ $O(\ell_n^3)$ y listo.

Answer 2

Mi idea es usar la fórmula de Newton $x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_{k})}$. Empezamos con $x_0 = z_n = 2 \pi n$$f(x) = \log(x) \sin(x)-1$. Llegamos $x_1 = z_n + \ell_n^{-1}$$\ell_n = \log(2 \pi n)$. Siguiente

$$ x_2 = z_n + \ell_n^{-1} -\frac{\left(z_n \ell _n+1\right) \left(\sin \left(\frac{1}{\ell _n}\right) \log \left(z_n+\frac{1}{\ell _n}\right)-1\right)}{\left(z_n \ell _n+1\right) \cos \left(\frac{1}{\ell _n}\right) \log \left(z_n+\frac{1}{\ell _n}\right)+\ell _n \sin \left(\frac{1}{\ell _n}\right)} $$

El término de corrección es de orden $(6 \ell_n^3)^{-1}$.