Como he mencionado en los comentarios, puedes encontrar la solución oficial aquí, aunque creo que no es demasiado revelador. También, estoy sorprendido de que no hay ningún hilo de discusión en AoPS para este problema... de todos Modos:
Como se señaló, cuando $m=1, n=2,$ las soluciones a $c$ siempre parecen producir $mc$ y $nc$ que son cíclicos cambios de uno a otro, así que es natural para tratar de construir un $c$ para todo $m, n.$
Vamos a empezar con algo fácil. Tomar $A$ y $B$ a ser enteros positivos, y supongamos que $B$ tiene los mismos números que $A,$, excepto cambiado por uno a la izquierda (por lo que el primer dígito de $A$ no es el último dígito de $B$). ¿Cómo podemos pensar de $B?$ Bien, la manera habitual de abordar los problemas relativos a los dígitos es mirar a la expansión decimal y teniendo en cuenta las diferencias. En este caso, tenga en cuenta que el cambio de cada dígito de $A$ a la izquierda es el "mismo" como multiplicar por $10.$ Ahora, debe quedar claro que $10A - B$ en realidad $(10^{n} - 1)\cdot d,$ donde $n$ es el número de dígitos de $A$ y $B,$ y $1\le d\le 9.$
En general, es cierto que el cambio de $s$ dígitos a la izquierda implica $10^{s}a - B$ es divisible por $10^{n}-1,$ pero no necesitamos esto para resolver nuestro problema. Lo que estamos buscando es una manera de forzar a $cm$ y $cn$ a ser cíclicos cambios de uno a otro. Naturales y la conjetura es a la inversa de nuestra afirmación anterior. Es decir, si $10^{n}-1\mediados de 10^{s}a-B$ $s,$ entonces $B$ es igual a $Un$ desplazado a la $s$ dígitos a la izquierda. Vamos a probar esto.
Reclamo: Dejar que $A$ y $B$ ser enteros positivos tales que el mayor de los dos tiene $n$ dígitos. Si $10^{n}-1\mediados de 10^{s}a-B$ $s \ge 0,$ entonces $B$ es igual a la de los cambios cíclicos de $$ $s$ dígitos (a la izquierda).
Comentario: observamos que podemos suponer $s < n$ desde $10^{n+s}a - 10^{s}$ es automáticamente divisible por $10^{n}-1.$
Prueba: Let A $ = 10^{n-1}a_{n-1} + \ldots + a_0$ y supongamos que $10^{s}a - 10^{n}d + d = B$ $s > 0$ y $d > 0$ ($s = 0$ es trivial). Entonces $de$10^{s}a - 10^{n}d+d = 10^{n+s-1}a_{n-1} + \ldots + 10^{n}a_{n-s} + \ldots + 10^{s}a_0 - 10^{n}d + d = B < 10^{n}-1.$$
Ahora, observa que si podemos producir $d$ tales que el medio de expresión es de entre $0$ y $10^{n}-1,$ entonces debe de ser $B$ por el algoritmo de la división. Tomando $d = 10^{m-1}a_{n-1} + \ldots + a_{n-s}$ produce $$10^{s} - (10^{n}-1)d = 10^{n-1}a_{n-s-1} + \ldots + 10^{s}a_0 + 10^{m-1}a_{n-1} + \ldots + a_{n-s},$ $ , que es necesariamente menos de $10^{n}.$ Por lo tanto $B$ se obtiene cambiando los dígitos de $A$ a la izquierda por $s.$
Desde aquí, queremos encontrar $c$ y $s$ que $10^{s}cm - cn$ es divisible por $10^{N}-1,$ donde $10^{N}-1 > cm, cn.$ Equivalentemente, necesitamos $c(10^{s}m - n)$ para ser divisible por $10^{N}-1.$ La manera más fácil de satisfacer todas las condiciones para ganar $10^{s}m-n$ dividir por $10^{N}-1$ para algunos grandes $N,$ y, a continuación, podemos elegir $c$ en consecuencia. Obviamente, existe la salvedad de que los $$ n puede tener un factor común con $10,$ pero no es difícil eliminar esta posibilidad. Por lo tanto, vamos a $(n,10) = 1.$ Luego tomar la $s$ lo suficientemente grande como para que $10^{s}m-n > m,n.$ Desde $10^{s}m-n$ no tiene factores comunes con $10,$ existe $N$ que $10^{N} - 1$ es divisible por (por ejemplo, $\phi(10^{s}m-n)$ obras). Ahora se acaba de tomar $c = \dfrac{10^{N}-1}{10^{s}m-n}$ para terminar. Tenga en cuenta que $cm, cn < 10^{N}-1$ por supuesto $10^{s}m-n.$
