¿Lo que se conoce sobre la ecuación de $u_{xy}+u_{yx}=0$?

Question

Yo estaba pensando un poco sobre ecuaciones en derivadas parciales y se dio cuenta de que yo no he visto ninguna ecuaciones en derivadas parciales cuyas soluciones poseen no igual mixto derivadas parciales o donde esta posibilidad es, al menos, tomarse en serio. Así que, me preguntaba:

Lo que se sabe acerca de tales ecuaciones? Hay una teoría general de ellos?

Una referencia sería muy bienvenido. (En el caso de las ecuaciones de sentido, por supuesto).

En particular, me preguntaba ¿qué se puede decir acerca de la ecuación

$$u_{xy}+u_{yx}=0$$

Hay interesantes soluciones de esta ecuación, en cualquier sentido?

Estoy principalmente interesado en las funciones de $u:\Omega\to\Bbb R$ donde $\Omega\subseteq\Bbb R^2$ es un dominio y preferiblemente $u_{xy}\neq 0$, pero la falta de soluciones de cualquier tipo también son bienvenidos.

Gracias de antemano.

Answer 1

Creo que puede tener algo de idea aproximada acerca de este tipo de problema, probablemente estoy equivocado aunque, debe ser un comentario realmente.

Si en $\mathbb{R}^2$, $u_{xy}\neq u_{yx}$, mientras que el primero de los derivados que existe, en sentido débil, $u\in H^1$ pero $u\notin H^2$, y el problema puede escribirse como: $$ \etiqueta{1}\mathrm{div}(R \nabla u) = 0 $$ donde $R = \begin{pmatrix}0&1 \\1&0\end{pmatrix}$ es el reflejo de la transformación con respecto a la línea de $y=x$, multiplicar ambos lados de (1) por una suave función de la prueba de $v\in C^{\infty}_0$, supongamos $u$ es un piecewisely función definida por:

$$ \int_{\mathbb{R}^2} \mathrm{div}(R \nabla u) v = -\int_{\mathbb{R}^2} R \nabla u\cdot \nabla v + \sum_{\Omega_i}\int_{\parcial \Omega_i} vR\nabla u\cdot \nu $$ El primer término se ha ido si $u$ es una solución débil, para el segundo término, si el reflejo de la transformación haría que la componente normal a través de la frontera todavía continua, es decir, $(vR\nabla u\cdot \nu|_{\partial \Omega^+} + vR\nabla u\cdot \nu|_{\partial \Omega^-})$ cero.

Un posible candidato a $u$ sería una función lineal a trozos que se $1$$y=x$$0$$y = x\pm 1$, ha lineal de descomposición dentro de la raya y de la $0$ en otros lugares, $\mathbb{R}^2$ está dividido en 2 partes, donde una.e. $u_{xy} = 0 = u_{yx}$, mientras que la componente normal de la $R\nabla u$ es continua a través de $y=x$, por lo tanto, tenemos $\mathrm{div}(R\nabla u)=0$.

He intentado durante una hora y no puedo pensar en un ejemplo claro de $u_{xy} = -u_{yx}$ en positivo Lebesgue medida, tal vez es como LVK sugerido.