Problema de la traza y el determinante de las matrices simétricas

Question

Me he topado con este ejercicio en un libro de álgebra lineal que pide determinar todos los pares ordenados $(a,b)$ de números reales para los que existe una única matriz simétrica $A\in R^{2\times 2}$ para que $tr(A)=a$ y $Det(A)=b$ . Ni siquiera sé cómo abordar este problema, he intentado utilizar la expansión de Laplace, y otras propiedades de la traza y los determinantes.

Se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

El polinomio característico de un $2 \times 2$ se puede escribir como \begin{equation} p(\lambda) = \lambda^2 - \textrm{tr}(A)\lambda + \textrm{det}(A) \end{equation} (Verificar aquí ). Si una matriz $A$ es simétrica entonces es diagonalizable tal que: \begin{equation} A = Q \Lambda Q^T \quad \textrm{ where } \quad \Lambda= \textrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2) \end{equation} ( es decir $\Lambda$ es la matriz con valores propios en su diagonal). Por lo tanto, podemos suponer que el polinomio característico se puede resolver para las raíces reales: \begin{equation} \lambda^2 - \underbrace{\textrm{tr}(A)}_{a}\lambda + \underbrace{\textrm{det}(A)}_{b} = 0 \end{equation}

El problema se reduce, por tanto, a encontrar para qué $(a,b)$ hay una solución: \begin{equation} \lambda^2 - a\lambda + b = 0 \end{equation}

Las raíces de la ecuación vienen dadas por la habitual fórmula : \begin{equation} \lambda = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 4b}}{2} \end{equation}

Las soluciones de valor real son aquellas en las que $a^2 \geq 4b$ . Esto resuelve el problema.

Answer 2

Dejemos que $A=\pmatrix{x&z\\z&y}$ . Entonces tienes las ecuaciones $a = x+y$ y $b=xy-z^2$ . No debería ser muy difícil resolverlos. Tendrás un parámetro libre cuando termines.