Conversión entre $\frac{d \sigma}{d t}$y $\frac{d \sigma}{d \Omega}$

Question

Estoy realizando algunas de simulación en el que necesita la integración de una sección transversal de la forma

$$\sigma = \int_{-s}^{0}dt \frac{1}{(t-\mu^2)^2} f(\theta,\phi)$$

donde $s$ $t$ son los habituales de mandelstam variables, $\mu^2$ es una constante, y $f$ es no-Lorenz invariante en función de los antecedentes y de la dispersión de los ángulos. Debido a esto $f$ no puedo impulso a la COM marco donde los movimientos se vuelven triviales, por lo tanto quiero, en lugar de integrar

$$ \sigma = \int d\theta d\phi \frac{1}{(t(\theta,\phi)-\mu^2)^2} f(\theta,\phi) $$

lo que me estoy dando cuenta que no trivial es el de determinar el Jacobiano de esta transformación (ya que estamos pasando de un 1-D 2-D integral de la matriz Jacobiana no es cuadrado).

El gran problema es que $t(\theta,\phi)$ es un degenerado función de $\theta$ $\phi$ y por lo tanto la integración de más de $\theta$ $\phi$ doble cuenta mi sección transversal diferencial y por lo tanto el total de la sección transversal I es demasiado grande.

He comprobado esta vía de integración numérica para $f=1$ y en comparación con el resultado analítico $$\sigma = \int_{-s}^{0}dt \frac{1}{(t-\mu^2)^2} = \frac{s}{\mu^2(\mu^2+s)} $$

He intentado un tipo de método de fuerza bruta para encontrar el jacobiano, mediante la extracción de líneas de constante $t$ a partir de una Mathematica contorno de la parcela, y el cálculo de la arclength de estas líneas y, a continuación, dividir la degeneración.

Larga historia corta, no funciona.

tl;dr

Encontrar el jacobiano que convierte a $$ \int_{-s}^{0} dt \rightarrow \int d\theta d\phi$$ en el laboratorio de marco

Alguna idea?

EDITAR: Así que mi ángulos se definen de la siguiente manera, puedo alinear mi eje z con una de las partículas entrantes, especificando la $\theta$ $\phi$ (i.e el vector unitario) en el que se dispersa de forma exclusiva determina su magnitud y, a continuación, trivialmente (por conservación de momento) el otro vector de dispersión. (ya no estamos en COM marco el otro vector entrante no es anti-alineados)

EDIT 2: En un intento de hacer bien planteado puedo hacer el siguiente "cambio"

$$ \int_{-s}^{0} dt = \int_{0}^{2\pi}\int_{-s}^{0} d\psi dt \frac{1}{2\pi} $$

En la COM marco de esta correspondería a la integración sobre el cono de vectores que corresponden a un valor específico de $t$. En principio debería ser capaz de crisis de una Jacobiana ahora, eso si puedo expresar $\psi(\theta,\phi)$ ( que corresponden a las líneas de constante $t$).....hmmmmm....Me voy a quedar con esta idea para un poco.

Answer 1

Independiente del proceso físico, esta pregunta es matemáticamente mal planteado. Si desea convertir la integral de la 1D forma que dio a las formas en 2D que se dio, no se está haciendo un "ordinario" cambio de variables donde se puede utilizar una matriz Jacobiana para ajustar la medida. (Como se señaló a sí mismo, el Jacobiano en este caso no será cuadrado, por lo que operativamente usted no será capaz de aplicar esta fórmula, incluso antes de entrar en los detalles de si es la fórmula correcta para su uso).

Si usted realmente quiere hacer este cambio, entonces usted necesita para ser capaz de escribir una o la otra de las variables en función de los otros, es decir, $\theta = \theta(\phi)$ o $\phi = \phi(\theta)$. Entonces usted puede escribir su integral como dos anidados, 1D integrales. En general, sin embargo, los límites para la integración en el interior de la integral será una función de la variable de integración en el exterior integral. En símbolos, usted va a terminar con algo como esto: $$ \sigma = \int_a^b \left[ \int_{l(\theta')}^{u(\theta')} \frac{f(\theta(\phi'),\phi')}{(t(\theta(\phi'),\phi')-\mu^2)^2} \delta(\theta(\phi') - \theta') \frac{dt}{d\phi'} d\phi' \right] d\theta' $$.

El $\delta$ es de Dirac $\delta$-función.

Además, ya que usted dijo que $t$ es altamente degenerados como una función de los ángulos, usted realmente necesita para romper la integral anterior en varios dominios que $t$ es no degenerado sobre el rango de integración de cada subdominio. Luego suma los resultados de las integrales en los subdominios.

A menos que su problema tiene una estructura adicional que puede explotar, por lo que estos cambios probablemente será tan difícil o más difícil que la evaluación de la integral original. Si usted no puede evaluar analíticamente, entonces es posible que desee mover a una integración numérica de la técnica o encontrar alguna otra transformación de la integral que se aplica a su problema.

Si usted insiste en un "simple" respuesta a tu pregunta, supongo que se podría decir que $\delta(\theta(\phi') - \theta') \frac{dt}{d\phi'}$ es el determinante del Jacobiano de que usted solicitó, a pesar de que se lava los puntos acerca de los límites de integración no trivial y los posibles efectos de la degeneración de $t$ como una función de los ángulos.