¿Qué es la terminación de este espacio?

Question

Esta pregunta nos pide que nos muestran que $\Bbb R$ con la siguiente métrica no es completa:

Revisión estrictamente una función positiva $f \in L^1(\Bbb R)$, y deje $d(x,y)=\left|\int_x^y f(t)dt\right|$.

Es fácil ver (en línea con las respuestas a la pregunta vinculada) que cualquier desmedido aumento de la secuencia de los números reales es de Cauchy sin límite en esta métrica. ¿Qué es la finalización de este espacio métrico? Es homeomórficos a cualquier conocido espacio? Si no, ¿cuáles son algunas de las interesantes propiedades que tiene? Si el problema es intratable para arbitrario $f$, siéntase libre de elegir la adecuada interesante $f$ o subclase de tal $f$. (En particular, continua $f$ o liso $f$.)

Answer 1

Poner $a = \int_{-\infty}^\infty f(t) \ dt >0$. Definir $F : \mathbb{R} \to [0,a]$ $F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) \ dt$. Que $f$ es estrictamente positivo, no es difícil ver que $F$ tiene rango equivalente al $(0,a)$. De hecho, $F$ es absolutamente continua, estrictamente creciente, $\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$ y $\lim_{x \to \infty} F(x) = a$. Dadas $x < y$ $\mathbb{R}$, uno tiene $$ d(x,y) = \int_x^y f(t) \ dt = \int_{-\infty}^y f(t) \ dt - \int_{-\infty}^x f(t) \ dt = F(y) - F(x) = |F(y) - F(x)|$ $ que muestra $F$ es un isometry de $\mathbb{R}$ % métricas $d$en $(0,a) \subset [0,a]$ con la métrica estándar. Desde la terminación de $(0,a)$ es isométrica a $[0,a]$, la terminación de $\mathbb{R}$ $d$ es isométrica a $[0,a]$ así.

Answer 2

Esto es $\{-\infty\}\cup\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$.

Intento áspera en una prueba, tal vez no son errores:

Tenga en cuenta que cada habitual secuencia de Cauchy restos de Cauchy al pasar a esta integral métrica.

Supongamos $\{c_n\}$ es de Cauchy en virtud de esta medida, pero no es de Cauchy en virtud de la costumbre métrica. Es decir, podemos encontrar un fijo positivo $\epsilon>0$ tal que infinitamente lejos, podemos encontrar términos sucesivos cuya distancia a la que en virtud de la costumbre métrica es $\ge \epsilon$. Entonces por Cauchy-ness bajo la integral de la métrica, el valor promedio de $f$ estos $\epsilon$-los intervalos deben ser ir a $0$.

Si los intervalos son, finalmente, volviendo siempre a algunos delimitada conjunto, tenemos una contradicción, ya que para una función positiva hay un límite inferior en el valor promedio de $f$ sobre cualquier $\epsilon$-intervalos en un conjunto compacto (por la compacidad puede encontrar un solo intervalo donde el $f$ tiene el "más pequeño" valor promedio).

Así que, dado cualquier conjunto acotado, finalmente, todos los intervalos entre los sucesivos elementos que caen fuera de ese conjunto acotado. Bien, a continuación, los términos son divergentes en valor absoluto a $\infty$. Pero no podemos tener arbitrariamente grande, positivo y arbitrariamente grandes en términos negativos, porque entonces la distancia entre ellos será delimitada por debajo de, por ejemplo,$\int_{-1}^1 f(x)dx$. Por lo $c_n$ son divergentes a $+\infty$ o $-\infty$.