Existencia de la integral de Pettis

Question

Esto está relacionado con una cuestión de MO: UNA pregunta sobre la integral de Hilbert de las funciones con valores. Estoy seguro de que es fácil, pero no puedo pensar ahora mismo, así que pensé en preguntarle.

Deje $f:[0,1]\rightarrow H$ ser un mapa de un espacio de Hilbert, de tal manera que para cada una de las $x\in H$, el mapa de $t\mapsto (f(t)|x)$ es Lebesgue medible, y en $L^1([0,1])$. Por lo tanto, podemos definir un mapa de $$F:H\rightarrow\mathbb C; \quad F(x) = \int_0^1 (x|f(t)) \ dt$$ Este es lineal, pero no es obviamente limitada. El MO pregunta parece sugerir que debería estar delimitado; si es así, entonces no es $y\in H$ $\int_0^1 (x|f(t)) \ dt = (x|y)$ todos los $x$, y se denota $y = \int_0^1 f(t) \ dt$ la integral de Pettis.

Lo que me molesta es que todas las fuentes que puedo Google (para "Pettis integral") parecen asumir que $y$ existe (o poner fuertes condiciones, por ejemplo, la continuidad, en $f$). Mi conjetura es que en un espacio de Hilbert es suficientemente agradable que de alguna manera se puede demostrar que $y$ existe (lo que es equivalente, que $F$ es continua). Esto es obviamente cierto si adicionalmente $t\mapsto \|f(t)\|$ es medible y en $L^1$, pero es más general?

Answer 1

Esto es válido para cualquier reflexiva espacio de Banach $X$ (fundamentalmente por la definición de la integral de Pettis). Esto se desprende de la cerrada gráfico teorema (Baire al rescate!). Permítanme en primer lugar el tratamiento de la Dunford integral en cualquier espacio de Banach (que toma valores en el bidual de $X$) y, a continuación, se especializan para la integral de Pettis más tarde. La reflexividad es entonces sólo se utiliza para asegurarse de que una débil función medible en realidad es integrable Pettis.

Añadido: El argumento que estoy presentando aquí es bastante estándar, pero debo señalar que me enteré en R. A. Ryan, el libro Introducción al tensor de productos en espacios de Banach.

Así que supongamos que $(\Omega,\mu)$ ($\sigma$- finito) medir el espacio, que $f: \Omega \to X$ es débilmente $\mu$-integrable, es decir: para todos los $\phi \in X^{\ast}$ la función de $\phi \circ f$ ($\mu$medible y) integrable. Entonces tenemos una lineal mapa de $T_{f}: X^{\ast} \to L^{1}(\Omega,\mu)$, lo que yo reclamo para ser acotada. Así que supongo que $\phi_{n} \to \phi$$X^{\ast}$$T_f(\phi_{n}) \to g$$L^{1}$. De pasar a la larga, podemos suponer que la $T_f(\phi_{n}) \to g$.e. Por otro lado, $\phi_{n} \circ f \to \phi \circ f$ pointwise todas partes, por lo $\phi \circ f = g$.e., en otras palabras $T_f \phi = g$$L^1$, lo $T_{f}$ es de hecho limitada por cerrado el teorema de la gráfica.

Ahora el adjunto del operador $T^{\ast}: L^{\infty} \to X^{\ast\ast}$ satisface para $h \in L^{\infty}$ $$ \langle \phi, T_{f}^{\ast}h \rangle = \int_{\Omega} h \cdot T_f\phi = \int_{\Omega} h \cdot \phi \circ f,$$ donde solía $\sigma$-finitud con el fin de garantizar que la dualidad $(L^{1})^{\ast} = L^{\infty}$ funciona muy bien.

Si $E \subset \Omega$ es medible, entonces $T_{f}^{\ast} \chi_{E} =: \int_{E} f\,d\mu \in X^{\ast\ast}$ se llama la Dunford integral de $f$ $E$ y es una tautología que cada débilmente $\mu$integrable función de $f: \Omega \to X$ tiene un Dunford integral.

En general, la función de $f$ se llama Pettis-integrable si $T_{f}^{\ast}\chi_{E} \in X \subset X^{\ast\ast}$ por cada medibles $E \subset \Omega$. Si $f$ es Pettis-integrable, a continuación, $T_{f}^{\ast}$ realmente define un operador $S_{f}: L^{\infty} \to X$, la característica de las funciones abarcan una norma-denso en el subespacio de $L^{\infty}$ $X$ es cerrado en $X^{\ast\ast}$. Ahora lo que se llama la integral de Pettis $f$, es simplemente $S_{f} \chi_{\Omega} = T_{f}^{\ast} \chi_{\Omega} = \int_{\Omega} f\,d\mu \in X$.

Por último, si $X$ es reflexiva, entonces cada débilmente $\mu$integrable $f: \Omega \to X$ es integrable Pettis (por la definición de la reflexividad), y por supuesto, poner los $y = \int_\Omega f\,d\mu = T_{f}^{\ast}\chi_{\Omega} \in X$ obtenemos la identidad y la existencia se le preguntó acerca de por libre: para $\phi \in X^{\ast}$ hemos $$\langle \phi, y \rangle_{X^\ast, X} = \langle \phi, T_{f}^{\ast}\chi_{\Omega}\rangle_{X,X^{\ast\ast}} = \int_{\Omega} \chi_{\Omega} \cdot \phi \circ f\,d\mu = \int_{\Omega} \langle \phi, f(x)\rangle_{X^{\ast},X}\,d\mu$$ como queríamos.