Métodos para mostrar tres puntos en $\mathbb{R}^2$ son colineales (o no)

Question

Una pregunta común es demostrar/desmentir que tres puntos en $\mathbb{R}^2$ son colineales. Por ejemplo

Demostrar que $(-1, 8)$ , $(1, -2)$ y $(2, 1)$ se encuentran en una línea común.

¿Cuáles son los métodos que se pueden utilizar para responder a este tipo de preguntas?

Answer 1

Dado que parece haber cierta confusión en cuanto al ajuste de $(-1,8)$ contra. $(-1,-8)$ , trata de utilizar los otros dos puntos.

Así que decir que el punto $a$ es $(x_1, y_1)$ , punto $b$ es $(x_2, y_2)$ y empezaremos con la suposición de que $x_1\neq x_2$ .

La fórmula general de "dos puntos" para la ecuación de una recta (dados dos puntos) viene dada por:

$$(y - y_1) = \frac{(y_2 - y_1)} {(x_2 - x_1)} (x-x_1)\quad\quad\quad(1)$$

donde $$\frac{(y_2 - y_1)} {(x_2 - x_1)} = m $$

( $m$ representa la pendiente de la línea). Tienes que simplificar la ecuación resolviendo para $y$ y poniendo la ecuación, por ejemplo, en forma de intersección de pendientes: $y = mx + b$ donde $b$ es el $y$ -intercepción (el valor de $y$ cuando $x = 0$ ). Entonces hay que sustituir el $x$ -coordenada del tercer punto para $x$ en la ecuación, al igual que para $y$ . Si el resultado, después de hacerlo, no es una igualdad, entonces el tercer punto no "satisface" la ecuación; en otras palabras, no está por tanto en la línea.

Si $(-1,8)$ no satisface la ecuación de la recta (de manera que después de sustituir $x$ y $y$ con las coordenadas del tercer punto, los dos lados de la ecuación no coinciden, intente utilizar $(-1,-8)$ y si eso funciona, tienes que volver a comprobar el método que has utilizado para obtener el punto $(-1,8)$ .

Por supuesto, también se puede utilizar la forma pendiente-intercepto, después de calcular la pendiente, como en el caso anterior: $$y = mx + b$$ Para resolver $b$ El $y$ -intercepción, basta con evaluar la ecuación, poniendo $x = 0.$ Eso debería darte $y = b$ (en $x = 0$ ): el punto de intersección de la línea con el $y$ -eje.

Advertencia:

Ahora, supongamos que $x_1 = x_2$ . ¿Entonces qué? Ciertamente no podemos utilizar la formulación general de dos puntos dada anteriormente, ya que si $x_1=x_2$ entonces $x_2 - x_1 = 0$ y la división por cero es indefinida. ¿Qué sabes de las rectas cuya pendiente es indefinida?

Estas líneas son siempre verticales, perpendiculares a la $x$ -eje, por lo que cada $x$ -coordinación en dicha línea es idéntica. Si podemos reescribir la ecuación proporcionada anteriormente en (1) como tal:

$$(x_2 - x_1)(y - y_1) = (y_2 - y_1)(x-x_1)$$

El lado izquierdo se evalúa como $0$ simplificando nos da la ecuación $x = x_1.$

Recomendación: si esta pregunta está relacionada con tu estudio para los exámenes, etc., es importante entender cómo calcular la ecuación de una recta, dados dos puntos, dada la pendiente, y también cómo pasar fácilmente de una forma a otra.

Answer 2

Aquí hay tres pruebas de colinealidad.

Prueba de distancia

Esta es la primera prueba que aprendí para comprobar si tres puntos eran colineales. En realidad, comprueba si un punto está entre otros dos. Dados tres puntos $(x_1,y_1)$ , $(x_2,y_2)$ y $(x_3,y_3)$ el punto $(x_2,y_2)$ está entre $(x_1,y_1)$ y $(x_3,y_3)$ cuando $$ |(x_1,y_1)-(x_3,y_3)|=|(x_1,y_1)-(x_2,y_2)|+|(x_2,y_2)-(x_3,y_3)| $$ Si alguno de los tres puntos está entre los otros dos, son colineales; es decir, si alguna de las distancias es la suma de las otras dos.

$\hspace{3cm}$

Prueba de área

El área de un triángulo viene dada por la mitad del determinante de los vectores de dos de los lados. Es decir, dado

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El área del triángulo es $$ \frac12\det\begin{bmatrix}x_2-x_1&y_2-y_1\\\\x_3-x_1&y_3-y_1\end{bmatrix} $$ Los tres puntos son colineales exactamente cuando esta área es $0$ .

Prueba de volumen

Dados tres puntos en $\mathbb{R}^2$ primero los trasladamos a $\mathbb{R}^3$ , $z=1$ para ser precisos. A continuación el volumen del tetraedro formado por tres puntos y el origen es un sexto del determinante de los tres puntos.

Es decir, el volumen de

$\hspace{3cm}$

es $$ \frac16\det\begin{bmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{bmatrix} $$

El volumen de una pirámide es un tercio de la base por la altura. En el caso anterior, la altitud es $1$ . Así, los puntos son colineales exactamente cuando este volumen es $0$ .

Answer 3

Para que 3 puntos sean colineales:

El área del triángulo formado por los 3 puntos dados debe ser CERO.

Supongamos que hay tres puntos dados A(x1, y1) , B(x2, y2) y C(x3, y3) . Entonces

                     x1 y1 1
Area(ABC) = (1/2)det x2 y2 1
                     x3 y3 1

Donde det es el determinante. Así que encontrar este determinante, si cero, los puntos dados son colineales de lo contrario no.

Para que n puntos sean colineales:

Entrada: P1, P2, P3, ... , Pn

Método 1:

1. Para cada triplete (P1, P2, P3)
2. Comprueba si estos tres son colineales utilizando el método del área del triángulo dado anteriormente.
3. Repetir para (P3, P4, P5) y así sucesivamente hasta (Pn-2, Pn-1, Pn)
4. Si todos los tripletes son colineales (área = cero) entonces los n puntos dados son colineales.

Método 2:

1. Encuentra los puntos mínimo y máximo con respecto a la coordenada x.
2. Encuentra la ecuación de la recta que une estos puntos mínimo y máximo utilizando la fórmula de los dos puntos (crédito: amWhy).
3. Para cada uno de los n-2 puntos restantes, comprueba si todos ellos se encuentran (satisfacen la ecuación) en esta recta.

Para reflexionar: Si quieres encontrar 3 puntos colineales a partir de n puntos dados, es bastante difícil y la complejidad de tiempo es mayor.

Gracias.

Answer 4

Para que tres sean colineales, la suma de la distancia entre dos pares de puntos es igual a la distancia entre el tercer par de puntos (es decir, |AB|+|AC|=|BC| o |AB|+|BC|=|AC| o |AC|+BC|=|AB|

Answer 5

(upps: no me fijé en la fecha del post original (tiene un año) Pero ahora que he escrito tanto lo dejo aquí para el lector superficial)

Un método muy elemental es el siguiente (que en realidad no es más que la fórmula de Arturo Magidin hecha geométricamente explícita).

Supongamos que sus tres puntos en una matriz $$\small A=\begin{bmatrix} 1&2&7 \\ 4&7&22 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1&x_2&x_3 \\ y_1&y_2&y_3 \end{bmatrix}$$ donde la primera fila muestra las coordenadas en el eje x y la segunda fila la del eje y. Podemos imaginar un triángulo en el plano.

Primero arrastramos ese triángulo verticalmente, de forma que el primero está en el eje x , es decir, restamos a todas las coordenadas y la del primer punto. Obtenemos $$\small A_1=\begin{bmatrix} 1&2&7 \\ 0&3&18 \end{bmatrix} \qquad \qquad (=A- \begin{bmatrix} .&.&. \\ 4&4&4 \end{bmatrix})$$ Luego arrastramos ese triángulo horizontalmente, de manera que el segundo punto se encuentra en el eje y, es decir, restamos a todas las coordenadas x la del segundo punto. Obtenemos $$\small A_2=\begin{bmatrix} -1&0&5 \\ 0&3&18 \end{bmatrix} \qquad \qquad (=A_1- \begin{bmatrix} 2&2&2\\.&.&. \end{bmatrix})$$ Ahora podemos imaginar una línea diagonal de (-1,0) a (0,3) y el tercer punto debe estar en esa línea. Sin cambiar la configuración del triángulo podríamos escalar las extensiones x e y por comodidad, de forma que la primera coordenada x sea -1 y la segunda coordenada y sea +1, por lo que dividimos las coordenadas y por 3, e incluso podemos dejar las coordenadas x sin tocar: $$\small A_3=\begin{bmatrix} -1&0&5 \\ 0&1&6 \end{bmatrix} $$ Ahora las cuatro primeras coordenadas definen la línea diagonal con pendiente 1 que pasa por (-1,0) y (0,1) y cada punto colineal debe tener $\small y_k=1+x_k$ o $\small y_k-x_k=1$ . Vemos que esto es cierto inmediatamente, pero también podemos restar las coordenadas x de las coordenadas y para hacerlo más explícito: $$\small A_4=\begin{bmatrix} 0&0&0 \\ 1&1&1 \end{bmatrix} $$ que muestra entonces la colinealidad de nuestros tres puntos.

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Otro ejemplo que no es colineal es $$\small B=\begin{bmatrix} 1&2&3 \\ 4&7&5 \end{bmatrix} $$ Traducimos a $\small x_2=0, y_1=0$ $$\small B_2=B-\begin{bmatrix} 2&2&2 \\ 4&4&4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1&0&1 \\ 0&3&1 \end{bmatrix} $$ Cambiamos la escala a $\small x_1=-1, y_2=1$ $$\small B_3= \begin{bmatrix} 1 \\ \frac13\end{bmatrix} \cdot B_2=\begin{bmatrix} -1&0&1 \\ 0&1& \frac13 \end{bmatrix} $$ e inmediatamente vemos por la diferencia $\small x_3-y_3 \ne 1$ que el tercer punto no es colineal con los otros dos puntos.