WolframAlpha da la solución simple, $F(x,y)=cx+\dfrac{y}{c}+c'$ % dos constantes $c$y $c'$.
¿Es la solución más general?
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zack
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Es cierto que la única $C^2$-suave global (definida en $\mathbb R^2$) la solución es lineal. Pero hay muchas más soluciones definidas sobre la forma correcta de subdominios, como halfplanes.
Debido a que los derivados $F_x$, $F_y$ no se desvanecen, se tiene signo constante. Vamos a asumir que ellos son positivos y a introducir una función de $u$ tal que $F_x=e^u$$F_y=e^{-u}$. La única restricción en $u$ es que el campo de $e^u\vec \imath +e^{-u}\vec\jmath$ es conservador. En forma diferenciada (aquí es donde necesito $F\in C^2$) este rendimientos $u_ye^u=-u_x e^{-u}$, o $$e^{-u} u_x+e^{u}u_y =0 \tag1$$ Esta es otra de primer orden de la PDE, pero es mejor que el que empezamos con: es quasilinear y, como tal, puede ser tratada con el método de las características.
En efecto, consideremos una curva de nivel $\Gamma = \{u=c\}$. De acuerdo a (1), el vector $e^{-c} \vec\imath+e^{c}\vec\jmath$ es ortogonal a $\nabla u$$\Gamma$, y por lo tanto es paralela a $\Gamma$. Es decir, $\Gamma$ es una recta con pendiente $e^{2c}$. Dado que las curvas de nivel no pueden cruzarse, podemos ver que cualquier solución general de (1) debe ser constante, que corresponde a $F$ ser lineal.
Por otro lado, para cualquier suave disminución de la función $g:\mathbb R\to\mathbb R $ tenemos una solución de (1) en la mitad superior del plano tales que $u(x,0)=g(x)$, debido a la característica de las líneas de $y=e^{2g(t)}(x-t)$ no se cruzan en la mitad superior del plano -. De $u$ recuperamos $F$ a través de la integración, como en el cálculo multivariable. Desde $F_x(x,0)= e^{g(x)}$, podemos organizar para $F$ cualquier $C^2$ cóncava función creciente en el $x$-eje.
Creo que a la misma conclusión acerca de soluciones globales (es decir, todos ellos son lineales) es verdadera en virtud de la mera $C^1$ suposición (que es el grado de regularidad aquí). Tal vez algo a lo largo de las líneas de esta pregunta acerca de la $F_xF_y=0$ puede trabajar.
doraemonpaul
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Con referencia a http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/fpde/fpde3301.pdftengo otro enfoque agradable:
$F_xF_y=1$
$F_y-\dfrac{1}{F_x}=0$
$F_{xy}+\dfrac{F_{xx}}{F_x^2}=0$
Deje $u=F_x$ ,
A continuación, $u_y+\dfrac{u_x}{u^2}=0$
$u_x+u^2u_y=0$
Siga el método en http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_characteristics#Example:
$\dfrac{dx}{dt}=1$ , dejando $x(0)=0$, $x=t$
$\dfrac{du}{dt}=0$ , dejando $u(0)=u_0$, $u=u_0$
$\dfrac{dy}{dt}=u^2=u_0^2$ , dejando $y(0)=g(u_0)$,$y=u_0^2t+g(u_0)=u^2x+g(u)$ , es decir, $u=G(u^2x-y)$
Pero $u(x,y)$ es difícil expresar de forma explícita, lo hace para $F(x,y)$ .
