Error de Fibonacci de la recurrencia de la prueba por inducción?

Question

Estoy trabajando en un problema a partir de un número de el libro de la teoría (Teoría de los números por George E. Andrews - problema 1-1-11). El texto se lee:

Probar: $\displaystyle F_1F_2+F_2F_3+F_3F_4+\ldots+F_{2n-1}F_{2n}=F_{2n}^2$

Empecé por la configuración de una suma:

$$\sum_{j=1}^{n}F_{2j-1}F_{2j}=F_{2n}^2$$

A partir de esto, he trabajado de forma inductiva:

$$\begin{align*} \sum_{j=1}^{n+1}F_{2j-1}F_{2j}&=F_{2n+2}^2\\ F_{2(n+1)-1}F_{2(n+1)}+\sum_{j=1}^{n}F_{2j-1}F_{2j}&=\ldots\\ F_{2n+1}F_{2n+2}+F_{2n}^2&=F_{2n+2}^2 \end{align*}$$

Esto no matemáticamente trabajo, sin embargo. Deje $n=3$, y de evaluar.

$$\begin{align*}F_7F_8+F_6^2&=F_8^2\\13\cdot21+8^2&=21^2\\337&\neq441\end{align*}$$

¿De dónde me salen mal? Alguna idea?

Answer 1

Sugerencia: Cuando incrementamos $n$$1$, añadimos dos términos de la suma, no de uno.

Answer 2

Su suma es incorrecta. Incluye sólo los términos impares*incluso, pero no en los términos incluso*extraño como $F_2F_3$ (también los índices deben ser $j$, no $n$). La forma correcta de escribir es $$\sum_{j=2}^{2n}F_{j-1}F_j=F_{2n}^2$$