geodesics sobre una superficie de revolución

Question

Estoy teniendo problemas con el ejercicio 1 del capítulo 3 de la do Carmo "Geometría de Riemann". Aquí está el fondo:

Deje $(u,v)$ ser las coordenadas en $\mathbb{R}^2$. Deje $f,g\in C^\infty(\mathbb{R})$, y observar que $\varphi:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^3$ $\varphi(u,v)=(f(v)\cos u,f(v)\sin u,g(v))$ es una inmersión asumiendo $f'(v)^2+g'(v)^2\not= 0$$f(v)\not= 0$. La imagen es la superficie de revolución generada por la curva de $(f(v),g(v))$ ser girado sobre el $z$-eje. La inducida por la métrica es $$ (g_{ij})=\left( \begin{array}{cc} f^2 & 0 \\ 0 & f'^2+g'^2 \end{array} \right), $$ y el local de las ecuaciones de una geodésica $\gamma$ $$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{d^2 u}{dt^2} + \frac{2ff'}{f^2}\frac{du}{dt}\frac{dv}{dt}=0 \\ \frac{d^2 v}{dt^2}-\frac{ff'}{f'^2+g'^2}\left( \frac{du}{dt} \right)^2 + \frac{f'f'' + g'g''}{f'^2+g'^2} \left( \frac{dv}{dt} \right)^2 = 0. \end{array} \right. $$

A continuación, do Carmo dice: Obtener la siguiente sentido geométrico de las ecuaciones anteriores: la segunda ecuación es, excepto por los meridianos ($u=u_0$) y paralelos ($v=v_0$), equivalente al hecho de que la "energía" $|\gamma'(t)|^2$ de una geodésica es constante a lo largo de $\gamma$; la primera ecuación indica que si $\beta(t)$ es la orientada al ángulo, $\beta(t)<\pi$$\gamma$, con una paralela $P$ de intersección $\gamma$$\gamma(t)$, $r\cos \beta$ es constante, donde $r$ es el radio de la $P$.

Este último párrafo es lo que me confunde. Primero de todo, he visto que la energía de una ruta como la $\int_a^b |\gamma'(t)|^2 dt$, así que tal vez por eso se pone "energía" en las comillas. Pero también, geodesics han constante de velocidad! Por lo que este debe ser constante a lo largo de todos los geodesics demasiado (independientemente de si son de meridianos o paralelos). Pero pensé que tal vez debería ciegamente enchufe y marchan ya que parece que el trabajo aterradoramente a menudo en la geometría de Riemann, así que me encontré $|\gamma'(t)|^2$, tomó su $t$derivados, y se sustituye en la segunda ecuación en el sistema para geodesics. Aquí está: $$ |\gamma'(t)|^2 = \left\langle \frac{d \gamma}{dt} , \frac{d \gamma}{dt} \right\rangle = u'^2 g_{11} + 2u'v'g_{12} + v'^2 g_{22} = u'^2f^2+v'^2(f'^2+g'^2)$$ así $$ \frac{d}{dt} |\gamma'(t)|^2 = 2u'u''f^2+2u'^2ff' + 2v'v''(f'^2+g'^2)+v'^2(2f'f''+2g'g'') $$ $$ = 2u'u''f^2+2u'^2ff' + 2v'(ff'u'^2-(f'f''+g'g'')v'^2)) + 2v'v''(f'^2+g'^2)+2v'^2(f'f''+g'g'')$$ $$ = 2u'u''f^2+2u'^2ff'(1+v')+2v'v''(f'^2+g'^2)+2v'^2(f'f''+g'g'')(1-v')$$

y esto se ve desesperado.

Answer 1

Lo que has hecho mal: la función de $f$ deben ser tratados como $f = f(\gamma(t)) = f(u(t),v(t))$. Por lo $\frac{d}{dt}f = \partial_u f \frac{d}{dt}u + \partial_vf\frac{d}{dt}v$ usando la regla de la cadena. Por la parametrización, se $\partial_uf = 0$, mientras que $\partial_v f$ es lo que usted escribió $f'$ originalmente. (Mientras que en la de arriba, implícitamente escribió $\frac{d}{dt}f^2 = 2f f'$, lo cual es incorrecto.)

Esta es una instancia donde vamos a notación en su camino. Si sería más clara si se reserva con el$\prime$$f'$, la derivada de la función $f$ en relación al parámetro de $v$ $g'$ por la derivada de la función $f$ en relación al parámetro de $v$, y utilizar de forma explícita o bien $\frac{d}{dt}$ o $\cdot$ para denotar el tiempo de los derivados a lo largo de la línea geodésica (como la geodésica ecuaciones que originalmente se copia hacia abajo).

Para la obtención de la "conservación de la energía", que puede ser de ayuda si en lugar de la segunda ecuación en las dos ecuaciones geodésicas (yo también creo que puede ser una señal de error en ella, pero no estoy 100% seguro), se observa la ecuación multiplicada por $(f'^2 + g'^2)\frac{dv}{dt}$, que es

$$ (f'^2 + g'^2) \dot{v} \ddot{v} + ff'\dot{v}(\dot{u})^2 + (f'f'' + g'g'')(\dot{v})^3 = 0 $$

Por cierto, la segunda cosa acerca de ángulo contra los paralelos se llama "Clairaut de la relación".