Equivalente a $\int_0^{\infty} \frac{\mathrm dx}{(1+x^3)^n},n\rightarrow\infty$

Question

Según mis cálculos

$$ \int_0^\infty \frac{\mathrm dx}{(1+x^3)^n}=\frac{(3n-4)\times(3n-7)\times\cdots\times5\times2}{3^{n+1/2}(n-1)!}2\pi$$

¿Cómo puede un equivalente de $$ \int_0^\infty \frac{\mathrm dx}{(1+x^3)^n}$$ ¿se puede derivar de esta fórmula?

(Dado que mi objetivo es estudiar la naturaleza de la serie $ \sum \int_0^\infty \frac{\mathrm dx}{(1+x^3)^n} $ )

Así que mi pregunta es simplemente: ¿existe un equivalente sencillo para $(3n-4)\times(3n-7)\times\cdots\times5\times2$ ?

Answer 1

$$ \prod_{k=1}^{n-1} 3k-1 = \frac{3^{n-1} \Gamma (n-1/3) }{\Gamma(2/3)} $$ así que ahora puedes usar la serie de Stirling para encontrar una asintótica para tu integral. Obtengo que $$\int^{\infty}_0 \frac{1}{(1+x^3)^n} dx = \frac{\Gamma(4/3) }{\sqrt[3]{n}} \left( 1 + \frac{2}{9n} + \mathcal{O}(n^{-2}) \right).$$ Así que se puede combinar este resultado con $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^p = \frac{n^{p+1}}{p+1} + \frac{n^p}{2} + \mathcal{O}(n^{p-1})$ para encontrar una asintótica para su suma.

Answer 2

La integral es la función beta disfrazada. Sea $x=\left(\frac{z}{1-z}\right)^{1/3}$ . Entonces $$\begin{eqnarray*} I_n &=& \int_0^\infty \frac{dx}{(1+x^3)^n} \\ &=& \frac{1}{3} \int_0^1 dz\, z^{-2/3}(1-z)^{n-4/3} \\ &=& \frac{1}{3} B(n-1/3,1/3) \\ &=& \frac{1}{3} \Gamma(1/3) \frac{\Gamma(n-1/3)}{\Gamma(n)} \\ &=& \Gamma(4/3) \frac{\Gamma(n-1/3)}{\Gamma(n)}. \end{eqnarray*}$$

Si el límite superior es finito, se puede encontrar una expresión cerrada para su suma, $$\sum_{n=1}^N I_n = \frac{3}{2} \Gamma(4/3) \frac{\Gamma(N+2/3)}{\Gamma(N)}. $$ En el límite $N\to\infty$ la suma es divergente. Es como $\frac{3}{2} \Gamma(4/3) N^{2/3}$ , tal y como insinuó @RagibZaman.