¿Ecuaciones diofantinas resueltas con números algebraicos?

Question

En Mathworld dice que algunas ecuaciones diofantinas se pueden resolver usando números algebraicos. Conozco un ejemplo que es el factor $x^2 + y^2$ en $\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$ para encontrar los triples pitagóricos.

Me interesaría mucho encontrar algunos ejemplos de ecuaciones más difíciles (no cuadráticas) que también se resuelvan fácilmente usando números algebraicos. Gracias.

Answer 1

Quizá el ejemplo más sencillo sea la parametrización de los triples pitagóricos primitivos $ z^2 = x^2 + y^2 = (x-y\,i)(x+y\,i).\,$ La idea clave de la prueba es la siguiente: $\ x-y\,i,\ x+y\,i\ $ son coprime factores de un cuadrado en un UFD, por lo que deben ser a su vez cuadrados (hasta factores unitarios). Así que $\ x + y\, i = (m + n\ i)^2 =\ m^2 - n^2 + 2mn\, i,\,$ que es la conocida parametrización.

Del mismo modo, podemos resolver casos de bajo grado del Último Teorema de Fermat empleando factorizaciones análogas sobre ciertos anillos de enteros algebraicos. Por ejemplo, Gauss demostró que no hay soluciones para el exponente 3 trabajando en el anillo de enteros de $\ \mathbb Q(\sqrt{-3}),\,$ y Dirichlet hizo lo mismo para el exponente 5 utilizando $\ \mathbb Q(\sqrt{5})\,.$ Posteriormente, Kummer generalizó estas técnicas para manejar todos los exponentes primos regulares trabajando sobre anillos de enteros ciclotómicos. Para una buena exposición, véase Ribenboim: 13 conferencias sobre el último teorema de Fermat . Weil resume muy bien la esencia de estas técnicas en su Teoría de los números , cap. IV, s. VI, p. 335:

Answer 2

El ejemplo clásico es cierto Curvas de Mordell . Nunca recuerdo bien cuáles tienen esta propiedad, pero por ejemplo creo que $y^2 = x^3 - 1$ es uno de ellos. (Escríbalo como $y^2 + 1 = x^3$ y factorizar el LHS en $\mathbb{Z}[i]$ .) Puede haber una lista en algunos libros sobre ecuaciones diofantinas y/o teoría algebraica de los números y/o curvas elípticas.

También existe la caso normal del último teorema de Fermat. Sin embargo, no sé si esto cuenta como "fácil".

Answer 3

Euler es famoso por utilizar números enteros algebraicos para resolver problemas diofánticos, aunque no siempre con exactitud.

Por ejemplo, en el artículo 182 del capítulo XII, parte II, de su Elementos de Álgebra (p. 396 en mi flamante edición de la Cambridge Library Collection), escribe:

Sea, por tanto, la fórmula $x^2+cy^2$ que se proponga, y que se exija que sea una plaza. Como se compone de los factores $(x+y\sqrt{-c})(x-y\sqrt{-c})$ Estos factores deben ser cuadrados, o cuadrados multiplicados por el mismo número. Así, si el producto de dos números, por ejemplo, $pq$ debe ser un cuadrado, debemos tener $p=r^2$ y $q=s^2$ es decir, cada factor es en sí mismo un cuadrado; o $p=mr^2$ y $q=ms^2$ y, por tanto, estos factores son cuadrados multiplicados por el mismo número. Por lo cual, hagamos $x+y\sqrt{-c} = m(p+q\sqrt{-c})^2$ se deduce que $x-y\sqrt{-c} = m(p-q\sqrt{-c})^2$ y tendremos $x^2+cy^2 = m^2(p^2+cq^2)^2$ que es un cuadrado. Además, para determinar $x$ y $y$ tenemos las ecuaciones $x+y\sqrt{-c} = mp^2 + 2mpq\sqrt{-c} -mcq^2$ y $x-y\sqrt{-c} = mp^2-2mpq\sqrt{-c} - mcq^2$ en el que $x$ es necesariamente igual a la parte racional, y $y\sqrt{-c}$ a la parte irracional; de modo que $x=mp^2 - mcq^2$ y $y\sqrt{-c} = 2mpq\sqrt{-c}$ o $y=2mpq$ y estos son los valores de $x$ y $y$ que transformará la expresión $x^2+cy^2$ en un cuadrado, $m^2(p^2+cq^2)^2$ cuya raíz es $mp^2+mcq^2$ .

(Nótese que Euler, de hecho, encuentra suficiente condiciones, pero no necesarias, aquí, y hay una suposición implícita de factorización única). En el artículo 187, procede en la misma línea para discutir cuando $ax^2+cy^2$ será un cubo, trabajando con la factorización $ax^2+cy^2 = (x\sqrt{a}+y\sqrt{-c})(x\sqrt{a} - y\sqrt{-c})$ .

El propio Euler sabía que esto no funcionaba del todo bien en general: en el artículo 195 discute cuando $2x^2-5$ es un cubo; su método da la respuesta de que es nunca un cubo, pero sin embargo señala que $x=4$ da $2x^2 - 5 = 27 = 3^3$ Su "investigación" sobre el fallo implica un agitar de manos bastante extenuante, concluyendo que el problema es que tenemos una diferencia en lugar de una suma como antes.

Answer 4

Un ejemplo interesante que aparece en la sección $4.9$ de Stewart y Tall Teoría algebraica de los números y último teorema de Fermat es la solución del Ecuación de Ramanujan-Nagell dado por

$$x^2 + 7 = 2^n$$

La idea es trabajar sobre el campo cuadrático $\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$ y utilizar el hecho de que tiene una factorización única para comparar dos factorizaciones en el núcleo del argumento.

El argumento necesita ocuparse de los diferentes casos por separado y no funciona tan "suavemente" como los argumentos de algunos de los ejemplos mencionados en las otras respuestas, pero eso es probablemente en algún sentido debido al hecho de que esta ecuación involucra una exponencial, que sólo empeora el ya difícil problema de resolver una ecuación Diofantina.

Answer 5

El último teorema de Fermat se "demostró" originalmente utilizando algunos argumentos elementales y el "hecho" de que el anillo de enteros de $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ es un UFD (que no lo es), donde $\zeta_p$ es una primitiva $p$ raíz de la unidad. Estos argumentos son válidos cuando $\mathcal{O}_p$ es un UFD; para una exposición exhaustiva del argumento, véase el capítulo 1 de la obra de Marcus Campos numéricos.