El cómputo de la traza y el determinante de a $A+B$, dado que los autovalores de a $A$ y una expresión para $B$

Question

Deje $A$ $4\times 4$ matriz con entradas real tal que $-1$, $1$, $2$, y $-2$ son sus autovalores.

Si $B = A^4 - 5A^2+5I$ donde $I$ denota $4\times 4$ matriz identidad, entonces ¿cuál sería el determinante y la traza de la matriz $A+B$?

Answer 1

Desde $A$ $4\times 4$ y sus autovalores son $2$, $-2$, $1$, y $-1$, la mínima y características de los polinomios de $A$ está de acuerdo y ambos son iguales a $$(t-1)(t+1)(t-2)(t+2) = (t^2-1)(t^2-4) = t^4 - 5t^2 + 4.$$ En particular, por la de Cayley-Hamilton Teorema, $$A^4 - 5A^2 + 4I = 0,$$ y por lo tanto $$B+A = A^4 - 5A^2 + 5I + A = (A^4-5A^2+4I) + (A+I) = A+I.$$

Ahora note que $\lambda$ es un autovalor de a $A$ si y sólo si $\alpha\lambda+\beta$ es un autovalor de a $\alpha A+\beta I$, a la conclusión de que los autovalores de a $B+A=A+I$ $0$, $-1$, $2$, y $3$. Por lo tanto, la traza es $0-1+2+3 = 4$, y el factor determinante es $0$ (desde $A+I$ a no es invertible, o desde el determinante es el producto de los autovalores).

Answer 2

Elija uno de los vectores propios de a $A$, se $\bf v$, con el correspondiente autovalor $\lambda$. Puede trabajar $(A+B){\bf v}$? De que, se puede trabajar el determinante y la traza?

Answer 3

Que me perdone si me equivoco lo que Gerry está tratando de decir, pero creo que es este:

1. Si $v$ es un autovector de a$A$, $v$ es un autovector de a $A+B$ (lo que es el autovalor asociado, entonces?). El uso de la fórmula para $B$, y tenga en cuenta que $A^n(v) = \lambda^nv$.

2. A partir de los autovalores asociados se puede obtener por $A+B$, usted debería ser capaz de indicar explícitamente el polinomio característico de a $A+B$.

3. Para un 4x4 de la matriz, la traza es el negativo del coeficiente de la cúbico término en el polinomio característico, y el factor determinante es el término constante.

Answer 4

Empiece por encontrar los autovalores de a $B$, el uso de los autovalores de a $A$. Encontrar los autovalores de a $A+B$ el uso de este.

Luego de recordar que el factor determinante aquí será el producto de los valores propios de a $A+B$ y la traza será el negativo de la suma de los autovalores de a $A+B$.