La unión de más de $2$ subgrupos puede ser un subgrupo de un grupo

Question

Real Pregunta es :

Supongamos $H$ $K$ son subgrupos de un grupo de $G$ tal que $H\cup K$ es un subgrupo de $G$. Demostrar que $H\subseteq K$ o $K\subseteq H$

Yo podría hacer esto sólo por el supuesto de que he a $h\in H; h\notin K$ $k\in K; k\notin H$ entonces definitivamente, me gustaría tener $hk\in H\cup K$ $hk$ lo haría en cualquiera de las $H$ aor $K$, en cualquier caso, se hace una contradicción.

Ahora, la siguiente Pregunta es :

Demostrar que para cada entero $n\geq 3$ existe un grupo de $G$ con subgrupos $H_1,H_2,\cdots,H_n$ de manera tal que no $H_i$ está contenida en cualquier otro y tal que $H_1\cup H_2\cup \cdots \cup H_n$ es un subgrupo de $G$.

Supongo que tenemos que construir algún grupo determinado $n\geq 3$

Por alguna razón, para $n=3$ tengo la siguiente idea :

$n=3$ , por lo que habría tres subgrupos y ningún subgrupo está contenida en cualquiera de las otras..

Cada subgrupo debe tener al menos $1$ sin elemento de identidad por lo que hay $3$ no de elementos de identidad de añadir elemento de identidad que me gustaría conseguir $4$ elementos.

Sería extra ordinario si en la elección de mi grupo es de $4$ elementos.

No sería una buena elección si puedo elegir mi grupo cíclico, así que la única opción que tengo es $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z_2}=\{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\}$

Cada elemento es de $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z_2}$ es de orden $2$ por lo que acaba de coger $H_1=\{(0,0),(1,0)\};H_2=\{(0,0),(0,1)\};H_3=\{(0,0),(1,1)\}$

Así, he a $H_1\cup H_2\cup H_3$ a todo el grupo (que es Más que suficiente)... yo solo la necesitas para ser un subgrupo y se ha convertido en el de todo el grupo..

Ahora tengo un grupo en el que la unión de $3$ subgrupos es un subgrupo..

Tengo un ejemplo más para el caso de $n=3$ - Grupo de Cuaterniones

$H_1=\{\pm 1,\pm i\}; H_2=\{\pm 1,\pm j\};H_3=\{\pm 1,\pm ij\}$

Aquí también he a $H_1\cup H_2\cup H_3=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm ij\}$ es un subgrupo de $G$ y el más largo es el de todo el grupo.

Ahora tengo otra Pregunta :

Es sólo por casualidad que de la unión de tres adecuada subgrupos es todo el grupo de que hay algunos ejemplos en los que la unión de tres adecuada subgrupos es un buen subgrupo... yo no podía ver esto de inmediato

Realmente no tengo idea de cómo ir con $n=4$ y así sucesivamente...

Por favor, me ayude a ver de alguna manera con este problema...

Gracias.

Answer 1

Derek Holt y Wei, Zhou respondió a la pregunta:

Demostrar que para cada entero $n\geq 3$ existe un grupo de $G$ con subgrupos $H_1,H_2,\cdots,H_n$ de manera tal que no $H_i$ está contenida en cualquier otro y tal que $H_1\cup H_2\cup \cdots \cup H_n = G$.

(La pregunta original se especifica la unión de un subgrupo, pero no hay pérdida en la toma de $G$ sí a ese subgrupo.)

La idea es tener un grupo más pequeño $K$ que es la unión de $n-1$ subgrupos $K_1$, $K_2$, $\dots$, $K_{n-1}$, y luego la forma $G=K \times L$ para algunos no-identidad de grupo $L$. Tomar $H_1=K_1 \times L$, $H_2=K_2 \times L$, $\dots$, $H_{n-1} = K_{n-1} \times L$ y $H_n = K \times 1$. Usted puede verificar que $H_n \not\subset H_i$ (desde $H_i$ no contiene todos los $(x,1)$ $x \in K$ ) y $H_i \not\subset H_n$ (desde $H_n$ no contiene $(1,x)$ cualquier $1\neq x \in L$).

Sin embargo, Praphulla Koushik fue comprensiblemente confundido desde $G$ fue también el de la unión de $H_1 \cup \dots \cup H_{n-1}$, la última $H_n$ era redundante. Yo no la dirección de la existencia de la no-redundante de los sindicatos (o "cubiertas") de tamaño $n$, pero no tengo la dirección, el tamaño mínimo de una cubierta de:

Deje $\sigma(G)$ ser el menos $n$ tal que $G$ es la unión de $n$ apropiado subgrupos.

Claramente $\sigma(C_n) = \infty$, pero de otra manera para un grupo finito $G$, $\sigma(G)$ es finito. La generalización obvia es:

Demostrar que para cada entero $n$ existe un grupo de $G$$\sigma(G)=n$.

Sin embargo, Cohn (1994) conjeturó que esto era imposible para $n=7$, y Tomkinson (1997) demostró esto. Tomkinson también dio una fórmula para $\sigma(G)$ al $G$ es solucionable: $\sigma(G)=[H:K]$ donde $H/K$ es el más pequeño jefe factor con más de un complemento.

Decimos que un grupo de $G$ $\sigma$- primitiva si $G$ no tiene no-identidad normal subgrupo $N$$\sigma(G)=\sigma(G/N)$. En cierto sentido, la $\sigma$-grupos primitivos son los únicos interesantes (como los otros sólo tienen $N \leq \cap H_i$ $N$ parte podría haber sido ignorado).

Como un ejercicio estándar, $\sigma(G)\leq 2$ es imposible.

Cohn encontrado el $\sigma$-grupos primitivos $G$$\sigma(G)=3$: sólo $C_2 \times C_2$, el mismo grupo de Praphulla Koushik deducir. Él también maneja $\sigma(G)=4$: sólo $C_3\times C_3$$S_3$, e $\sigma(G)=5$: sólo $A_4$. Aviso de cada uno de estos es de la forma $p^a+1$ $p$ el primer y el $a$ positivo. El primer número $\geq 3$ no de esta forma es $7$, y no es un $\sigma$-número. La investigación actual consiste en el estudio de la estructura $\sigma$-grupos primitivos y la búsqueda de $\sigma(G)$ grupos $G$ conocido a $\sigma$-primitivo. Detomi–Lucchini (2008) da una buena indicación sobre la estructura, y varios documentos de calcular $\sigma$ (generalmente un número finito) simple grupos.

Bibliografía

• Cohn, J. H. E. "En $n$-suma de los grupos." De matemáticas. Scand. 75 (1994), no. 1, 44-58. MR1308936
• Tomkinson, M. J. "Grupos como la unión de un adecuado subgrupos." De matemáticas. Scand. 81 (1997), no. 2, 191-198. MR1613772
• Detomi, Eloisa; Lucchini, Andrea. "En la estructura de la primitiva n-suma de los grupos." Cubo de 10 (2008), no. 3, 195-210. MR2467921

Answer 2

Suponga que tiene un "$k$"-ejemplo: $G=A_1 \cup \cdots \cup A_k$ donde $A_i <G$. Deje $H$ ser un grupo isomorfo a $G$, entonces no existe $B_1 \le H$$B_1 \cong A_1$. Ahora, considere el grupo $X=G \times H$. Claramente $X=A_1 \times H\cup \cdots \cup A_k \times H$. Deje $X_i=A_i \times H$. Por lo $X=X_1 \cup \cdots X_k$. Deje $X_{k+1}=G \times B_1$. Ahora usted puede encontrar que $X, X_1, \cdots, X_{k+1}$ "$k+1$"- ejemplo. Así que si $k$, $k+1$ es correcto.