Tengo que demostrarlo:
si un operador lineal $\phi : V \rightarrow V$ en un espacio vectorial es nilpotente, entonces su único valor propio es $0$ .
Sé cómo demostrar que esto para una matriz nilpotente, pero no estoy seguro en el caso de un operador. ¿Cómo podría relacionar $\phi$ a una matriz?
Nota: Un operador nilpotente $\phi$ se ha definido como un operador que satisface $\phi^{n} = 0$ para algunos $n \geq 1$ .
$\phi$ es nilpotente, por lo que $\phi^n = 0$ para algunos $n$ . Ahora dejemos que $v$ sea un vector propio: $\phi v = \lambda v$ para algún escalar $\lambda$ . Ahora tenemos $$ 0 = \phi^n v = \lambda^n v ~\Rightarrow~ \lambda=0 ~. $$
Obsérvese que esto también funciona en el caso de dimensión infinita; no es necesario relacionar $\phi$ a una matriz.
Editar : Como se sugiere en los comentarios, también podemos demostrar que $0$ es siempre un valor propio; en otras palabras, $\phi$ siempre tiene al menos un vector propio. Tome cualquier $v \neq 0$ sabemos que $\phi^n v = 0$ Así pues, dejemos que $k$ sea el mayor número entero tal que $\phi^k v \neq 0$ . Entonces $\phi(\phi^k v) = 0$ Así que $\phi^k v$ es un vector propio de $\phi$ con valor propio $0$ .
Para completar, podríamos mostrar que $0$ es en realidad un valor propio. Si $v$ es inyectiva entonces $\phi v \ne 0$ por cada $v \ne 0$ . Si elegimos cualquier $v$ entonces $\phi^n v \ne 0$ , lo cual es una contradicción. Por lo tanto $\ker\phi \ne \{0\}$ y cualquier elemento de $\ker\phi$ es obviamente un vector propio con valor propio $0$ .
Supongamos que $\phi$ tiene otro valor propio $\lambda \ne 0$ para que $\phi(x)=\lambda x $ ( $x$ es un vector propio correspondiente a $\lambda$ )
Entonces, $ \phi^n (x)= \phi^{(n-1)}(\phi(x))=\phi^{(n-1)}(\lambda x)=\lambda \phi^{n-1}(x)=\cdots=\lambda ^{n}x\ne 0$ .
Tenemos una contradicción, así que $\phi$ no puede tener otro valor propio excepto $0$ .
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Elección de una base para $V$ le permite identificar $\phi$ con una matriz, pero esto no es óptimo. Como los valores propios y la nilpotencia se definen de forma idéntica para las matrices y los operadores, la misma prueba debería funcionar.
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Sin embargo, hace que mi prueba parezca un poco descuidada ¿Debería empezar diciendo algo como "Considera la matriz nilpotente $A$ , donde $A^{n} = 0$ para algunos $n \geq 1$ y luego proporcionar la prueba para una matriz nilpotente?
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Sugerencia: suponga que $\phi v=\lambda v$ .
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@Mathlete No veo por qué - creo que es mucho más limpio no usar matrices. Como señala Rhys en su respuesta, esto también funciona en el caso de dimensión infinita.
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Eso sí parece una prueba mejor.