¿Demuestra que el único valor propio de un operador nilpotente es 0?

Question

Tengo que demostrarlo:

si un operador lineal $\phi : V \rightarrow V$ en un espacio vectorial es nilpotente, entonces su único valor propio es $0$ .

Sé cómo demostrar que esto para una matriz nilpotente, pero no estoy seguro en el caso de un operador. ¿Cómo podría relacionar $\phi$ a una matriz?

Nota: Un operador nilpotente $\phi$ se ha definido como un operador que satisface $\phi^{n} = 0$ para algunos $n \geq 1$ .

Answer 1

$\phi$ es nilpotente, por lo que $\phi^n = 0$ para algunos $n$ . Ahora dejemos que $v$ sea un vector propio: $\phi v = \lambda v$ para algún escalar $\lambda$ . Ahora tenemos $$0 = \phi^n v = \lambda^n v ~\Rightarrow~ \lambda=0 ~.$$

Obsérvese que esto también funciona en el caso de dimensión infinita; no es necesario relacionar $\phi$ a una matriz.

Editar : Como se sugiere en los comentarios, también podemos demostrar que $0$ es siempre un valor propio; en otras palabras, $\phi$ siempre tiene al menos un vector propio. Tome cualquier $v \neq 0$ sabemos que $\phi^n v = 0$ Así pues, dejemos que $k$ sea el mayor número entero tal que $\phi^k v \neq 0$ . Entonces $\phi(\phi^k v) = 0$ Así que $\phi^k v$ es un vector propio de $\phi$ con valor propio $0$ .

Answer 2

Supongamos que $\phi$ tiene otro valor propio $\lambda \ne 0$ para que $\phi(x)=\lambda x$ ( $x$ es un vector propio correspondiente a $\lambda$ )

Entonces, $\phi^n (x)= \phi^{(n-1)}(\phi(x))=\phi^{(n-1)}(\lambda x)=\lambda \phi^{n-1}(x)=\cdots=\lambda ^{n}x\ne 0$ .

Tenemos una contradicción, así que $\phi$ no puede tener otro valor propio excepto $0$ .