La fórmula para calcular el residuo en un simple polo.

Question

Supongamos $f=P/Q$ es una función racional y supongamos $f$ tiene una simple poste de $a$. A continuación, una fórmula para calcular el residuo de $f$ $a$ es $$ \text{Res}(f(z),a)=\lim_{z\a}(z-a)f(z)=\lim_{z\a}\frac{P(z)}{\frac{P(z)-P(a)}{z}}=\frac{P(a)}{Q(a)}. $$

En la segunda igualdad, ¿cómo la $Q(z)-Q(a)$ aparecen? Yo sólo veo que sería igual a $\lim_{z\to a}\frac{P(z)}{\frac{Q(z)}{z-a}}$.

Answer 1

Debido a $a$ es un cero de $Q(z)$; es decir, $$Q(a) = 0.$$ Por eso, $$Res_{a}f(z)=\lim_{z→a}(z−a)f(z) =\lim_{z→a}\frac{P(z)}{\frac{Q(z)}{z−a}} =\lim_{z→a}\frac{P(z)}{\frac{Q(z) - 0}{z−a}} = \lim_{z→a}\frac{P(z)}{\frac{Q(z)−Q(a)}{z−a}}= \frac{P(a)}{Q′(a).}$$ Entonces este es un "truco" para calcular el residuo de un simple polo.

Answer 2

Desde la pole en $\,a\,$ es simple, tenemos que $$Q(z)=(z-a)H(z)\,\,,\,H(z)\,\,\text{a polynomial}\,\,,\,P(a)\cdot H(a)\neq 0\,$$ Por lo tanto, como los polinomios definidos y diferenciables en todas partes: $$Res_{z=a}(f)=\lim_{z\to a}\frac{P(z)}{H(z)}=\frac{P(a)}{H(a)}$$ y, por supuesto, $$Q'(z)=H(z)+(z-a)H'(z)\xrightarrow [z\to a]{}H(a)$$