Estoy aprendiendo acerca de calibre conceptos. Siempre he tenido la idea de que observando el fenómeno desde diferentes puntos de vista, que simetrías podría ser derivados – de hecho, eso fue lo que un signo de igual significado. En otras palabras, el fenómeno subyacente se mantuvo constante, solamente los puntos de vista ha cambiado, y por lo tanto podría equipararse. Pero parece que la teoría de gauge es el opuesto idénticas cantidades observables son vistos, a pesar de las configuraciones de los campos subyacentes cambio. Esto es correcto o me estoy completamente fuera de la pista?
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Sora
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PhotonicBoom ya ha proporcionado una buena descripción general de la idea básica detrás del medidor de teorías, déjame sentar en una poco más grueso con la abstracción:
Una teoría de gauge es una teoría que tiene un local de calibre simetría inducida por un grupo gauge $G$, el cual es necesario para ser una Mentira grupo. Ahora, ¿qué queremos decir por que?
Deje $\Sigma$ ser nuestro espacio-tiempo (de dimensión arbitraria y firma). Supongamos que sabemos que debe haber algún campo $A_\mu : \Sigma \rightarrow \mathfrak{g}$ en $\Sigma$ ($\mathfrak{g}$ es la Mentira de álgebra de $G$, se puede pensar en el (vector) potencial de la electrodinámica clásica (en lo sucesivo referido como ED) para esto. Pero, cada vez que nos fijamos, podemos ver sólo localmente en este campo, por lo que tenemos algunos conjuntos de $U_\alpha$ $\alpha$ algún índice que cubre $\Sigma$, y en cada uno de estos $U_\alpha$, tenemos algunas $(A_\alpha)_\mu$ (por ejemplo, como solución a las ecuaciones de Maxwell). Tenemos una definición global para el campo si se requiere
$$ A_\alpha = g_{\alpha\beta}A_\beta g_{\alpha\beta}^{-1} + \mathrm{i}g_{\alpha\beta}\mathrm{d}g_{\alpha\beta}^{-1} \; \text{with} \; g_{\alpha\beta} : U_\alpha \cap U_\beta \rightarrow G \text{ a smooth function}$$
para todos los pares de conjuntos de $U_\alpha,U_\beta$ que tienen distinto de cero intersección. Esto puede parecer muy extraño, pero consideremos el caso de ED, donde $G = \mathrm{U}(1)$: No, para $f : \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}$, podemos escribir funciones tales como la $g(x) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}f(x)}$. Todo desplazamientos, y la fórmula anterior se reduce a
$$A_\alpha = A_\beta - \mathrm{d}f$$
que es, precisamente, el indicador de libertad que tenemos en el clásico ED! Así que, en este sentido, los feos ecuación anterior es la generalización de la familiarizado caso general no abelian grupos de simetría $G$. De hecho, los datos anteriores (los juegos $U_\alpha$ y la transición de las funciones de $g_{\alpha\beta}$) definir lo que se llama un $G$-director paquete. Ahora, en esta $G$-director de grupo, vamos a llamar a $P$, se puede definir la noción de un medidor de transformación de $g : P \rightarrow G$, y la transformación de la $A$ bajo este volverá a ser $A \mapsto gAg^{-1} + g\mathrm{d}g^{-1}$ (sin tener en cuenta factores molestos de $\mathrm{i}$). ¿Qué tiene esto que ver con nuestra idea intuitiva de calibre? Bien, $P$ localmente se parece a $U_\alpha \times G$, donde a dejar a un elemento del grupo de $h \in G$ actuar en un punto de $(x,k)$ medio $(x,k)h := (x,kh)$, y haciendo el medidor de trafo es sólo $(x,k) \mapsto (x,kg(x,k))$. Así que todo el trafo no es de conmutación de los elementos de grupo por encima de un punto de $x \in \Sigma$ alrededor, o, en otras palabras, elige un nuevo punto en lo que parece ser $\{x\} \times G$ a ser la identidad de grupo. Esto es (en un sentido vago) la generalización de la libertad de configuración de que el "cero" de cierto potencial que PhotonicBoom hablado.
Ahora, después de esta extraña simetría pasando bien, pero ¿cómo podemos conseguir cosas que no cambian con medidor de transformación? Ahora mismo, $A$ está cambiando, los puntos en $P$ están cambiando a su alrededor, no es algo que se supone debe ser invariante gauge aquí?
Definir la derivada covariante w.r.t. para la conexión de $A$
$$ \mathrm{d}_A f := \mathrm{d}f + A \wedge f$$
(cada derivada covariante de un campo transformando en una representación de $G$ se transformará también en la representación, pero ya he escrito una pared de texto aquí, así que no voy a entrar en materia campos, la palabra de moda está asociado el vector de paquetes) y definir la curvatura o la intensidad de campo
$$ F := \mathrm{d}_A A = \mathrm{d}A + A \wedge A$$
Ahora, directos de computación, se muestra que el $F$ se transforma a medida $F \mapsto gFg^{-1}$. En ED, todo desplazamientos, y ya tienes una invariante gauge cantidad (desde $gFg^{-1} = F$), lo cual es bueno, ya que la intensidad de campo debe, como una cantidad física , no cambio bajo calibre transformación! Para general $G$, la cual puede ser escrita como la matriz de grupos, acaba de tomar la traza. $\mathrm{tr}(gFg^{-1}) = \mathrm{tr}(F)$ es invariante, ya que la traza es invariante bajo permutaciones cíclicas.
Y, ¡listo! La acción de este puro Yang-Mills teoría es
$$ S[A] := \frac{1}{4e^2}\int_\Sigma \mathrm{Tr}(F \wedge \star F)$$
con $e$ algunas constante de acoplamiento. No estoy muy seguro de si eso es afinar la intuición como usted podría haber esperado, pero eso es lo que es (siempre que no lo he hecho algunas de las principales técnicas metedura de pata en algún lugar, los punteros de curso se aprecia).
Constandinos Damalas
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Que son, básicamente, a la derecha. Una teoría de gauge es un campo de la teoría de que las hojas de las ecuaciones de movimiento invariante bajo local(distinción importante señalado por @joshphysics) las transformaciones de las coordenadas. Se da a los físicos de la capacidad para introducir arbitraria grados de libertad para jugar con y simplificar los problemas, siempre y cuando las cantidades físicas siguen siendo los mismos.
Por ejemplo, en la Electrodinámica puede redefinir el potencial tan largo como el gradiente de estancias de la misma. El campo eléctrico $E(r)$ (nuestra cantidad física) está dado por: $$E = -\nabla\phi$$
Pero $\phi$ puede ser transformado mediante la adición de un término constante $k$ que tendrá: $$\phi' \rightarrow \phi + k$$
Sustituyendo esto en la ecuación anterior obtenemos: $$E = -\nabla(\phi + k) = -\nabla \phi$$ que corresonds a la misma cantidad física como en el anterior (en este caso el campo eléctrico).
Este es sólo un ejemplo. Otro ejemplo, lo que probablemente hace que la utilidad de esta teoría en la más clara, es el potencial gravitacional $V = mgh$. Podemos elegir el origen a estar en cualquier lugar ya que sólo estamos interesados en la energía potencial de la diferencia, y esto simplifica los cálculos mucho (usted no tiene que preocuparse del origen, sólo de la distancia entre los puntos que se están investigando).
En la Teoría Cuántica de campos, medidor de transformaciones conducen a cantidades conservadas a través del Teorema de Noether, que dice que por cada continuo de la simetría que existe una cantidad conservada. Un grupo independiente de calibre transformaciones da lugar a medidor de campos. Cada generador del grupo gauge corresponde a un medidor de campo que describe bosones gauge.
WetSavannaAnimal aka Rod Vance
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Otra toma en el calibre de las teorías, para agregar a ACuriousMind la respuesta: así como la adición de grados de libertad que permiten un mayor margen de maniobra para llevar una clase más amplia de técnicas de solución de soportar, una teoría de gauge es una forma de que el teórico para codificar observado experimentalmente simetrías en el candidato de la teoría. Usted podría, por ejemplo, sabemos de la literatura experimental que un cierto tipo de interacción que conserva algunas medidos experimentalmente continua de cantidades, vamos a llamarlos "blooblehood", "twangleness" y "thargledom" para enfatizar la idea de la generalidad (me imagino que estos fueron estudiados por el Thargoids en virtud de su líder, físico teórico de la Ort). Una manera de hacer que un candidato de la teoría de conservar blooblehood, twangleness y thargledom en sus descripciones de la interacción es hacer una teoría descrita por una de Lagrange y, a continuación, establecer que de Lagrange, de modo que es invariante con respecto a una Mentira grupo $\mathfrak{G}$ de transformaciones en sus coordenadas. El teorema de Noether, a continuación, dice que habrá una cantidad conservada para cada miembro de la base de la Mentira del grupo Mentira álgebra $\mathfrak{g}$. Este grupo es Mentira, a continuación, la estructura (calibre) de grupo para la fibra haz formado con $\Sigma$ como base el espacio (en ACuriousMind la notación y la "medir" los campos son las fibras, como en ACuriousMind la respuesta. Así que postulamos un Lagrangiano que tiene un grupo de simetría de la dimensión 3 $\mathfrak{G}$.
Otras respuestas en donde hablo de cosas similares están aquí y aquí. La respuesta última tiene lo que yo tengo para ser excelentes referencias para los no especialistas, y de cómo empecé a sentir que yo entiendo de esas cosas (aunque todavía bastante poca).
Por supuesto, esta no es la única manera que las cosas pueden ser conservada, por lo que conserva cantidades no prueban la descripción tiene que ser una teoría de gauge. Es sólo una chupar y ver el tipo de aproximación que se hace una analogía con la primera teoría de gauge (electrodinámica de Maxwell) y otros tipos de teorías físicas: espero que puedan hacer algunos falsificable anunciando con su Lagrange para un experimentales puede ver si usted está en el camino correcto. Lo que es bueno acerca de una teoría de gauge es que la conservación tiene todo liso transformaciones que pasan por un buen camino en el espacio-tiempo, así que no estamos hablando de saltar de forma discontinua desde un punto a una desplazó a un valor distinto de cero distancia y nuestra teoría se mantiene "local": Richard Feynman habla acerca de esta nonuniqueness de un tratamiento conservador de la teoría cuando él se deriva del teorema de Poynting en su segundo volumen: ver el comienzo del Capítulo 27 de Vol II
Como un aparte, una de las más interesantes y altamente inusual uso de medidor de teorías en el campo de anholonomic de la teoría de control de sistemas dinámicos. Un excelente marco para pensar acerca de la forma en que un gato cayendo voltea mientras que la conservación del momento angular es el siguiente: El gato puede ser descrito por un colector $\Sigma$ (para uso ACuriousMind la notación) que se llama el "espacio de gato formas" y el gato puede deformar su forma de moverse sin problemas entre los puntos del colector. Estas formas se describen en coordinar el fotograma que está fijo con respecto a los ejes montados en el tumbling (es decir, la caída y la rotación) cat. En el lenguaje de los haces de fibras, el espacio de las formas es la base del espacio de $\Sigma$, la fibra es el espacio de $SO(3)$ (o $SO(2)\cong U(1)$) de la del gato orientaciones en el espacio. El paquete de topología se define por el "transporte paralelo" noción o conexión, uno obtiene calculando el cambio en el gato orientación que surge, debido a la conservación del momento angular, desde el gato, a raíz de una trozos $C^1$ trayectoria a través del espacio de formas. La estructura (calibre) grupo de algunos de ellos conectados Mentira subgrupo de $SO(3)$ que actúa sobre la fibra, $SO(3)$ sí.
Digo más sobre el gato cayendo en mi artículo:
Richard Montgomery el trabajo seminal es:
Escribí mi artículo en el curso de la lectura y la comprensión de Montgomery ideas. Así que usted PUEDE encontrar mi artículo más suave, pero con diferentes tipos de técnicas de exposición funcionan mejor para diferentes mentalidades.
