Inductivo prueba de que $(m!^n)n! \mid (mn)!$

Question

He trabajado este problema antes, pero estoy atascado en el paso inductivo.

Mostrar que $(m!^n)n! \mid (mn)!$

Estoy usando inducción sobre $n$.

Pensé que el factor de $(m(n+1))$! pero no pueden conseguir exactamente lo que quieres, alguna sugerencia?

Answer 1

Suponga que $(m!^n)n\mid(mn)!$, decir $(mn)!=a(m!^n)n$. Entonces

$$\begin{align*} \big(m(n+1)\big)!&=(mn+m)!\\ &=(mn)!\prod_{k=1}^m(mn+k)\\ &=a(m!^n)n!\prod_{k=1}^m(mn+k)\\ &=a(m!^n)n!(mn+m)\prod_{k=1}^{m-1}(mn+k)\\ &=am(m!^n)(n+1)!\prod_{k=1}^{m-1}(mn+k)\;. \end{align*}$$

Si usted puede demostrar que $$(m-1)!\;\Bigg\vert\;\prod_{k=1}^{m-1}(mn+k)\;,$$ you'll have the extra factor of $m!$ que usted necesita.

SUGERENCIA: $\dbinom{mn+m-1}{mn}$ es un número entero.

Answer 2

Si usted no está interesado en la no-inductivo de pruebas, por favor, ignore esta respuesta.

Si usted, tenga en cuenta que usted puede ver el grupo $S_m\wr S_n$ (que onduladas es el símbolo de la corona de producto) como un subgrupo de $S_{mn}$. Estos grupos tienen cardinalidad $(m!)^nn!$$(mn)!$, respectivamente. La declaración que desea es del teorema de Lagrange se aplica a este par.