La motivación de la importancia de la topología

Question

A partir de mañana, voy a ser tutoría algunos estudiantes de pregrado, a raíz de un curso de topología general. Estoy buscando ejemplos de motivación de la importancia de la topología en matemáticas, lo cual puede explicarse sin demasiada dificultad en el uso de conceptos de otras áreas de las matemáticas (o física) que ya han tratado (esas áreas serían principalmente el análisis, análisis complejo, álgebra lineal, un poco de teoría de grafos, algunos métodos numéricos para las matemáticas y la mecánica clásica, electromagnetismo, relatividad especial, algunos de QM y un poco de física estadística de la física). He tratado de mirar a su alrededor, pero no he encontrado poco que me motivan a seguir un curso de este tipo. ¿Alguien tiene algún buen ejemplo?

Nota: yo, por supuesto, explicar a ellos que sin topología van a ser capaces de hacer muy poco en matemáticas avanzadas (por ejemplo, el análisis funcional, geometría diferencial, ...)

EDIT: Ok, me dio como ejemplo el teorema de Tychonoff, Brower del teorema de punto fijo y el de la curva de Jordan teorema.

Me gustaría mantener esta pregunta vivo, por interés personal. ¿Qué son interesantes (no muy duro) aplicaciones de la topología en otras áreas de las matemáticas?

Answer 1

Bien, una idea sería hablar acerca de los resultados de Análisis Real y cómo la topología se generaliza, o de que manera topológica de los métodos de hacer sus pruebas mucho más fácil. Usted podría considerar el Teorema del Valor Intermedio, por ejemplo, o cómo el Número de Lebesgue Lema hace que sea muy fácil probar que si $f: X \to Y$ es una función continua entre espacios métricos $X,Y$ donde $X$ es compacto, entonces, en el hecho de $f$ es uniformemente continua con respecto a la topología inducida por la métrica. El teorema de Tychonoff también podría ser un buen uno, o a la inversa de la Cerrada Gráfico Teorema. Mi conjetura es que usted debe conectar a la métrica de los espacios en su mayoría, para ellos va a ser en su mayoría familiarizado con eso. Si, por supuesto, están más avanzadas, puede considerar la posibilidad de hablar acerca de cómo la topología de la muestra que es imposible encontrar un homeomorphism $f: [0,1] \to S^1$ o de otras construcciones similares. Puedo seguir pero me temo que no tendría sentido si alguna de mis sugerencias anteriores no es fácilmente pueda ser empleada. La mejor de las suertes!

Answer 2

Mi primera exposición a la topología, antes de que siquiera se dio cuenta de que era topología, fue en Zorich del Análisis Matemático I. fue a través de la definición de un límite a más de una base.

Después de definir los límites de un número real y en el infinito en el modo estándar, que yo ya estaba familiarizado con el autor de repente introdujo un concepto con el que yo nunca había oído hablar de: una base. Una base, dijo, era una colección de $B$ de los subconjuntos de a $\mathbb R$ tal forma que:

1. $a,b\in B\implies (\exists c\in B)\ c\subseteq A\cap B$
2. $a\in B\wedge b\subseteq a\implies b\in B$
3. $\emptyset\not\in B$

No tengo el libro a mano, pero estoy bastante seguro de que fue a todas las propiedades. Luego dijo que el símbolo $x\to a$ representado la base de "la colección de abrir los intervalos que contengan $a$", $x\to +\infty$ representado la base de "la colección de intervalos no acotados en el derecho". Al principio estaba confundido, pero como él se define la noción de un límite sobre una base arbitraria, me di cuenta de que esta era la solución a algo que siempre me molestó de límites. Los límites de las $a$ y los límites de las $\infty$ son muy similares, conceptualmente, y, sin embargo, las definiciones son necesariamente diferentes, porque no podemos medir la "distancia" desde el infinito. Y aquí estaba: el solo, la definición unificada siempre quise. Me quedó aún más impresionado cuando me di cuenta de que la misma noción cubiertos incluso los límites de las secuencias.

Explicó que la definición llegó por la simple observación de que las propiedades (1) a (3) fueron los únicos que se utilizan en la demostración de las propiedades clave de los límites. Voltear hacia atrás, me di cuenta de que estaba en lo cierto, y yo entendí: definiciones matemáticas son (a veces) obtenido por la destilación de una teoría. Usted sistemática de recoger todo lo que se utiliza para probar los teoremas, y obtener una descripción precisa de todos los objetos que cumplen los teoremas (o, al menos, algunas condiciones suficientes).

Lo que es más importante, a mi entender venía de ver una aplicación real de la topología en las matemáticas, no sólo a algunos vagos "intuición" de lo que la definición de "medios".

Answer 3

• En el análisis funcional, la noción de la debilidad de la topología es un gran ejemplo de la aplicación de "raro" (no metrizable) topología : los argumentos de los débiles compacity proporcionar rápidamente la existencia de una gran cantidad de problemas variacionales (incluyendo, por ejemplo, la formulación de Lagrange en la mecánica clásica o limitada de la relatividad de einstein).

• La "bola Peluda" teorema tiene un curioso consecuencia : en todo momento hay dos antipodal puntos en la superficie de la Tierra que tienen exactamente la misma temperatura y presión.

Answer 4

el punto es que la topología hace que sea más fácil para responder a preguntas que son sólo un poco menos informativo que muchas de las preguntas naturales, en muchas situaciones. E. g. en lugar de encontrar soluciones a una ecuación, la cual es generalmente difícil, uno se pregunta, en lugar de demostrar la existencia de soluciones, o para contar el número de soluciones de un promedio ponderado de sentido. Por lo tanto el teorema del valor intermedio proporciona un teorema de existencia en los casos donde el teorema de Abel nos dice que no hay fórmula en la que los radicales para una raíz de un polinomio. Añadiendo el valor medio teorema obtenemos las estimaciones sobre el número de soluciones. Similares de dos dimensiones versiones permiten el teorema fundamental del álgebra ser demostrado, de nuevo, garantizando soluciones de ecuaciones polinómicas y contar su número. La teoría general del grado de asignación generaliza esta técnica, e incluso se extiende a los espacios de infinitas dimensiones. Una buena fuente para que la teoría es una perspectiva de la no linealidad por Melvyn y Marion Berger. La teoría de las singularidades de campos vectoriales es otro ejemplo de la aplicación de la topología a las preguntas de la existencia de soluciones. I. e. la característica de Euler de la esfera 2 prohíbe la existencia de un nunca cero vector tangente de campo sobre la esfera. Cauchy teorema también permite que el concepto de conectividad simple para ser invocada para la conclusión de la existencia de complejos logaritmos en ciertas regiones. La lista es larga......

Answer 5

Mi profesor de ejemplo: Se utiliza el índice y el pulgar para formar un anillo, y a la izquierda el índice y el pulgar para formar otro, entrelazando el anillo de la mano derecha. Él preguntó si era posible deformar lo que nos desbloquear los dos anillos. La respuesta es no, cuando él estaba usando un reloj. Entonces él se quitó el reloj y dijo: "ahora es posible".