Hay una pequeña, pero importante aspecto que faltan aquí. La expectativa de valor de los observables $A$ se define como
$$\langle A\rangle_\psi=\int\psi^*(x)A\psi(x)dx$$
donde la probabilidad de estar en la configuración $\psi(x)$ es
$$P=\int\psi^*(x)\psi(x)dx$$
Pero yo ya sé que la ecuación de $(3)$ es errónea ya que en la ecuación de $(1)$ el operador $A$ está actuando en $\psi(x)$, por lo que no tiene ningún sentido para mover el operador al frente de el integrando sólo para hacer que se vea como la ecuación de $(2)$.
Sí, por supuesto. Estás en lo correcto. Ahora, vemos que la parte que te falta. En la mecánica cuántica, se definen los operadores que representan a las características observables como Hermitian y un operador tiene ciertas eigen funciones.
Si $\psi(x)$ es un eigen función del operador $A$, entonces usted tendrá la ecuación de valor eigen
$$A\psi(x)=a\psi(x)$$
donde $a$ es el correspondiente eigen valor es un número real. En tal caso,
$$\langle A\rangle_\psi=\int\psi^*(x)a\psi(x)dx=a\int\psi^*(x)\psi(x)dx=aP$$
donde $P$ como se definió anteriormente es la probabilidad de que el sistema se puede encontrar en el estado $\psi(x)$. Por lo tanto podemos decir que la expectativa de valor de un operador w.r.t un estado en particular es el eigen valor de ese estado de veces la probabilidad de estar en ese estado. Esa es la diferencia entre la expectativa y el valor eigen valor.
A menos que la función de onda es normalizado ($P=1$), no vamos a obtener el valor eigen de la operadora, ya que la expectativa de valor.
Ahora, la función de onda $\psi(x)$ no necesita ser siempre un eigen función de $A$. En tales casos, se expande la función de onda como una superposición de los eigen funciones del operador $A$ en Dirac bra-ket de notación:
$$\vert \psi\rangle=\int d\zeta '\vert\zeta'\rangle\langle\zeta'\vert\psi\rangle $$
donde {$\zeta_j$} forma un conjunto completo de eigen funciones de $A$ $\displaystyle{\int d\zeta '\vert\zeta'\rangle\langle\zeta\vert}$ es la identidad del operador $1$ $\vert\zeta'\rangle\langle\zeta'\vert$ es la proyección del operador $\Lambda_{\zeta'}$. Las operaciones que ocurren en el correspondiente espacio de Hilbert se extendió por el completo interior de los productos de la eigen tfe y eigen bras del operador.
Antes de continuar, vamos a echar un breve resumen sobre la Dirac del formalismo:
Breve resumen sobre la Dirac bra-ket de notación: El ket, como la función de onda representa un estado particular del sistema, pero en realidad, no es la función de onda del sistema. Es representado como $\vert\psi\rangle$. La función de onda del sistema puede ser derivada desde el ket y el ket representa a un estado, llamado estado ket, es un vector en el espacio vectorial generado por los eigen tfe de que el operador $A$, como hablamos en el eigen funciones del operador $A$. Ahora, para la función de onda, tenemos un complejo correspondiente función de onda. Del mismo modo, el complejo de doble de un estado ket se llama un estado de sujetador y está representado por $\langle\psi\vert$.
Así, la expectativa de valor de algunos operadores de la mecánica cuántica sistema es lo que queremos medir. La primera cosa a considerar es que nos representan en el estado general ket (que es, por supuesto, no definido) como una superposición lineal de los eigen tfe de la operadora (que se conocen, una vez que resolver la ecuación de valor eigen). Es como escribir un vector como una combinación lineal de las coordenadas independientes. Sin embargo, un espacio vectorial es una cosa diferente. Pero el concepto es el mismo. Así, un estado general ket $\vert\alpha\rangle$ puede ser ampliada en términos de la completa eigen vectores del operador $A$ como:
$$\vert\alpha\rangle=\sum_{a'}c_{a'}\vert a'\rangle=c_{a'}\vert a'\rangle+c_{a''}\vert a''\rangle+c_{a'''}\vert a'''\rangle+...$$
donde las tfe $\vert a'\rangle, \vert a''\rangle,\vert a'''\rangle...$ son los eigen tfe de $A$ y se completa. El conjunto {$a'$} son los correspondientes valores eigen. Los coeficientes de dilatación $c_{a'},c_{a''},...$ son las amplitudes de probabilidad de la correspondiente eigen las tfe. Esto puede ser entendido en los próximos párrafos donde se define el producto interior de un ket y un sujetador.
Podemos representar el estado del sistema en cuestión como una combinación lineal de los eigen tfe de la observables, cuya expectativa de valor se va a medir. Este vector se representa como un ket y se define en un espacio vectorial complejo llamado el ket espacio. Así, el ket espacio es atravesado por el eigen tfe de la operadora. Esto significa que el eigen tfe de que el operador formas de los vectores de la base de nuestro espacio vectorial. Dado que existe una correspondencia uno a uno entre un ket y el correspondiente bra, podemos definir un espacio atravesado por eigen bras y se llama bra espacio. Si tomamos el producto interior del estado ket y el estado de sostén, definidas respectivamente en el ket espacio y el sostén de espacio, vamos a obtener un completo producto interior de un espacio llamado espacio de Hilbert. Todos los cuántica "mecánica" suceden en el espacio de Hilbert.
¿Por qué necesitamos un producto interior el espacio? Así, el ket y el sostén son complejos, los vectores y son inútiles, a menos que podamos extraer de ellos información. Para obtener tomamos el producto interior de el ket y el sostén. El interior del producto se toma entre un sujetador y una ket. El producto interior entre el estado ket $\vert\alpha\rangle$ y el estado bra $\langle\beta\vert$ se denota como $\langle\beta\vert\alpha\rangle$. Se da la probabilidad de que la amplitud del sistema, se encuentra inicialmente en el estado $\vert\alpha\rangle$ a encontrarse en el estado $\vert\beta\rangle$, cuyo cuadrado del módulo da la probabilidad de la misma. El producto interior es un número real. Esta probabilidad es la cosa fundamental que acompaña a todo el resto de las operaciones, que se verá en los próximos debates. La probabilidad es un número real y debe ser positivo. De modo que el producto interior explicó anteriormente debe ser positiva.
Ahora vamos a mirar hacia atrás, donde se definió $c_{a'}$ como la probabilidad de la amplitud del estado definido por el ket $\vert\alpha\rangle$ a encontrarse en el estado $\vert a'\rangle$, que es una eigen estado del explotador $A$. Para eso, hemos de tomar el producto interior de $\vert\alpha\rangle$ con el eigen bra $\langle a'\vert$, obtenemos
$$\langle a'\vert\alpha\rangle=\sum_{a'}c_{a'}\langle a'\vert a'\rangle=c_{a'}$$
donde hemos usado una relación importante el llamado orthonormality condición de dos tfe. Si dos tfe $\vert a'\rangle$ $\vert a''\rangle$ son ortogonales (independientes) y normalizado (de modo que el producto interior de las ket con su propio sostén da $1$), luego la orthonormality estado de estados que
$$\langle a'\vert a''\rangle=\delta_{a',a''}$$
que es $1$ si los dos elementos son los mismos y $0$ cuando no lo son. Así, exigimos el eigen tfe de los operadores a ser ortonormales para satisfacer las anteriores orthonormality condición. Así, tenemos $c_{a'}$ como la probabilidad de la amplitud de la eigen ket $\vert a'\rangle$. Por lo tanto el cuadrado de su módulo nos da la probabilidad de que el sistema se encuentra en el eigen estado $\vert a'\rangle$:
$$\vert c_{a'}\vert^2=\vert\langle a'\vert\alpha\rangle\vert^2$$
Ahora, podemos ver que
$$\sum_{a'} \vert c_{a'}\vert^2=\sum_{a'}\vert\langle a'\vert\alpha\rangle\vert^2=1$$
un requisito por la probabilidad de que la conservación teorema.
Ahora, ¿qué pasa si tomamos el producto interior de un general ket y el correspondiente bra? La respuesta nos dará la probabilidad de encontrar el sistema en ese estado. Si el estado de las tfe se normalizan, a continuación, esta probabilidad será uno.
Ahora, al tomar el producto interior de un estado ket con un estado de sostén, estamos combinando los dos espacios - el ket y el sostén de los espacios - de alguna manera para obtener un completo producto interior de un espacio llamado espacio de Hilbert. Toda la información sobre el estado está oculto en este espacio de Hilbert. Así que le pedimos al estado ket para revelar cierta información, por ejemplo la energía. Hacemos esto mediante el funcionamiento del estado ket comprar el operador de energía. A continuación, vamos a obtener el valor de la energía, que está presente en el espacio de Hilbert. Así, las operaciones en el estado de ket sucede en el espacio de Hilbert.
Ahora, vamos a ver el funcionamiento de los operadores en el estado de las tfe. Su similar a la operación de los operadores en una función de onda. El operador $A$ que actúa sobre el general ket $\vert\alpha\rangle$ está dado por
$$A\vert\alpha\rangle=A\sum_{a'}c_{a'}\vert a'\rangle=A\sum_{a'}\left(\langle a'\vert\alpha\rangle\right)\vert a'\rangle=A\sum_{a'}\vert a'\rangle\langle a'\vert\alpha\rangle$$
Cuando comparamos ambas partes de que el efecto de la $\displaystyle{\sum_{a'}\vert a'\rangle\langle a'\vert}$ es igual que la operación por la identidad del operador $1$. Por lo tanto $\displaystyle{\sum_{a'}\vert a'\rangle\langle a'\vert}=1$ es considerado como la identidad opertor. Ahora, ¿qué significa el exterior del producto $\Lambda_{a'}=\vert a'\rangle\langle a'\vert$ nos da? Aunque el producto interior es un escalar, el exterior del producto es un operador. Para ver esto, vamos a actuar en el ket $\vert\alpha\rangle$
$$\Lambda_{a'}\vert\alpha\rangle=\vert a'\rangle\langle a'\vert\vert\alpha\rangle=\vert a'\rangle\left(\langle a'\vert\vert\alpha\rangle\right)=c_{a'}\vert a'\rangle.$$
El ket $\vert\alpha\rangle$ es una combinación de todos los posibles eigen las tfe. Cuando operamos este ket con $\Lambda_{a'}$, el operador selecciona la parte de la cy $\vert\alpha\rangle$ paralelo a $\vert a'\rangle$. Por lo tanto es conocida como la proyección del operador. La comparación de la identidad del operador y el operador de proyección, nos encontramos con que
$$\sum_{a'} \Lambda_{A'}=1$$
Bien, ahora que estamos casi equipado con las herramientas para la discusión. Sólo se ha considerado anteriormente discreta del espectro de los casos sólo. Los hechos anteriores se tiene para espectro continuo. Todo lo que tenemos que hacer es reemplazar la suma por una integral y el delta de Kronecker el símbolo de la función delta de Dirac.
Nota: Esta no es una descripción completa acerca de la notación de Dirac. Hay un montón de cosas para ver. Sin embargo, me he limitaciones. Puedes encontrar más esclarecedores debates sobre la notación de Dirac en la Moderna Mecánica Cuántica por J. J. Sakurai.
Ahora, continuamos. La expectativa de valor se define como
$$\langle A\rangle_\psi=\langle\psi\vert A\vert\psi\rangle$$
La sustitución de la mencionada ampliación de $\vert\psi\rangle$ en la ecuación, obtenemos
$$
\begin{align}
\langle A\rangle_\psi&=\iint d\zeta'd\zeta''\langle\psi\vert\zeta'\rangle\langle\zeta'\vert A \vert\zeta''\rangle\langle\zeta''\vert\psi\rangle\\
&= \iint d\zeta'd\zeta''\langle\psi\vert\zeta'\rangle\zeta' \delta\left(\zeta''-\zeta'\right)\langle\zeta''\vert\psi\rangle\\
&=\zeta'\int d\zeta'\langle\psi\vert\zeta'\rangle\langle\zeta'\vert\psi\rangle
\end{align}
$$
Ahora, $\langle\zeta'\vert\psi\rangle$ se define como un producto interior de dos de las tfe. Se da la probabilidad de que el sistema es transferido del estado a $\vert\psi\rangle$ para el estado $\vert\zeta'\rangle$, y la probabilidad de la transición. Si yo represento a $\langle\zeta'\vert\psi\rangle=c_{\zeta'}$, que en general es un número complejo y es la transición de amplitud, a continuación,$\langle\psi\vert\zeta'\rangle=\langle\zeta'\vert\psi\rangle^*=c^*_{\zeta'}$. Por lo tanto
$$\langle A\rangle_\psi=\zeta'\int d\zeta '\vert c_{\zeta'}\vert^2$$
lo que significa que la expectativa de valor del operador $A$ es el eigen ket de $A$ veces la probabilidad de que el sistema se encuentra en la particular eigen estado de $A$.
