cómo demostrar esta desigualdad $\sum\limits_{1\le i<j\le n}|z_{i}-z_{j}|\le n\cot{\frac{\pi}{2n}}$

Question

Sea complejo $z_{i}(i=1,2,\cdots,n$ ),y tal $|z_{i}|=1$

demostrar que $$\sum_{1\le i<j\le n}|z_{i}-z_{j}|\le n\cot{\dfrac{\pi}{2n}}$$

Probé C-S y números complejos Identidad de Lagrange pero sin éxito.

Answer 1

Etiquetar los puntos $A_1, \ldots, A_n, A_{n+1} = A_1, \ldots, A_{2n-1} = A_{n-1}$ en orden. Sea $A_{i,j}$ denotan la medida del arco desde $A_i$ a $A_j.$ Entonces el problema se reduce a demostrar $$2\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n-1} \sin \frac{A_{i,i+j}}{2} \le n\cot\frac{\pi}{2n}.$$

Obsérvese que cada uno de los ángulos en cuestión es menor que $\pi,$ por lo que podemos aplicar la desigualdad de Jensen para fijas $j$ para obtener $$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \sin\frac{A_{i,i+j}}{2} \le \sin\left(\sum_{i=1}^{n} \frac{A_{i,i+j}}{2n}\right) = \sin \frac{\pi j}{n}.$$ Ahora haz la suma sobre $j$ para terminar.