¿Podemos demostrar que el tiempo es ortogonal al espacio?

Question

Es fácil demostrar que el tiempo que medimos está "en una dirección diferente" de las direcciones espaciales que medimos. Sin embargo, no me resulta inmediatamente obvio que estas direcciones sean ortogonales.

¿Cómo probamos que cualquier dirección es ortogonal? Lo que se me ocurrió es lo siguiente. [¿Para distancias cortas/¿esto causa problemas?], podemos usar el teorema de Pitágoras. Si tengo dos direcciones en el espacio, simplemente puedo viajar 1 metro en cada una de las dos direcciones y luego medir la distancia entre los dos puntos finales. El resultado es √2 metros si y solo si tus dos direcciones eran perpendiculares.

¡Fácil!

Mi pregunta es: ¿se puede utilizar este método para demostrar que nuestro concepto de tiempo es ortogonal a nuestro concepto de espacio?

Tengo una idea de por dónde empezar. Necesitaríamos movernos en el espacio 1 metro, mientras nos movemos en el tiempo 1 metro (convirtiendo el tiempo en metros usando c). Luego tendríamos que medir si la distancia recorrida fue de √2 metros. No estoy seguro de qué significaría eso.

Espero que esta pregunta tenga sentido; ¡gracias por tu ayuda!

Answer 1

Depende de cómo se defina la ortogonalidad, o como OSE lo menciona en su comentario, "La ortogonalidad generalmente se prueba usando algún producto interno definido." Voy a expandir un poco sobre esto.

Para poder responder matemáticamente a la pregunta

¿Es la dirección A ortogonal a la dirección B?

necesitamos una definición de los términos "dirección" y "ortogonal". La forma matemática estándar de formalizar la noción de dirección es usando vectores.

Por ejemplo, imagina que estamos viajando a lo largo de alguna curva $\gamma$ en el plano, y digamos que estamos en un punto $x$ en el plano, entonces la dirección de $\gamma$ en el punto $x$ puede ser definida por un vector tangente a $\gamma$ en el punto $x$.

En particular, digamos que $\gamma$ es simplemente el eje $x$, entonces un vector tangente al eje $x$ en cada punto es simplemente $(1,0)$ (o cualquier múltiplo escalar positivo de este), y esto define la dirección de esta línea en cada punto. De manera similar, la dirección del eje $y$ en cada punto está definida por el vector $(0,1) (o cualquier múltiplo escalar positivo de este).

¿Qué pasa con la noción de ortogonalidad? Dado que los vectores definen direcciones, podríamos pensar que la ortogonalidad de direcciones debería ser definida en términos de asociar un número a cada par de vectores, y que cuando este número tiene un valor especial, llamamos a estos vectores (y por lo tanto las direcciones que definen) ortogonales.

En la práctica, eso es exactamente cómo se hace. La asociación de un número a un par dado de vectores que prueba la ortogonalidad se llama un producto interno, como se mencionó en el comentario de OSE a tu pregunta. Dados un par de vectores $u$ y $v$, es común ver que el producto interno se denota de alguna manera como $u\cdot v$, o $\langle u,v\rangle, o algo similar, dependiendo del contexto. Dado un producto interno, dos vectores se dice que son ortogonales con respecto a ese producto interno siempre y cuando su producto interno sea cero.

Así que tomemos el ejemplo de direcciones en el plano. El producto interno estándar en el plano, a menudo referido como el "producto punto", se define de la siguiente manera: \begin{align} (u_x, u_y)\cdot (v_x, v_y) = u_xu_y + v_xv_y \end{align} Para probar que dos direcciones son ortogonales, solo necesitamos calcular su producto interno y verificar que es cero. Por ejemplo, las direcciones $x$ y $y$ son ortogonales ya que \begin{align} (1,0)\cdot (0,1) = 1(0) + 0(1) = 0. \end{align}

Ahora volvamos a la pregunta original de si el tiempo y el espacio son ortogonales. Vamos a restringir la discusión a un espacio tiempo $1+1$-dimensional con coordenadas $(t,x)$ por simplicidad. La dirección del eje del tiempo está dada por el vector unitario $(1,0)$. La dirección del eje del espacio está dada por el vector unitario $(0,1)$. Llamarlos ortogonales ahora depende del producto interno que especifiquemos.

Si elegimos el producto interno para que sea como el producto punto en el plano de $x$-$y$, es decir, si elegimos \begin{align} (u_t, u_x)\cdot (v_t, v_x) = u_tv_t + u_xv_x, \end{align} entonces sí, el tiempo y el espacio son ortogonales con respecto a este producto.

Sin embargo, la interpretación física y significado de aplicar este producto interno al espacio tiempo es confuso. El producto interno estándar en el plano está motivado por el hecho de que coincide con la noción usual de distancia. En particular, si dos vectores son ortogonales con respecto a este producto interno, entonces la suma de los cuadrados de sus longitudes coincide con la noción independientemente definida de la distancia euclidiana entre sus extremos.

En el caso del espacio tiempo, esta noción de distancia no es particularmente útil o apropiada. Sin embargo, hay una diferente noción de "distancia" derivada de un producto escalar (que estrictamente hablando no es un producto interno ya que no es definido positivo) definido por \begin{align} (u_t, u_x)\cdot (v_t, v_x) = -u_tv_t + u_xv_x. Desafortunadamente, dado que este producto escalar no es un producto interno, la noción de ortogonalidad resulta ser un poco forzada. Pero si insistes en seguir llamando a los vectores ortogonales si su producto escalar entre ellos es cero, entonces las direcciones $x$ y $t$ siguen siendo ortogonales relativas a este producto.

Answer 2

¿Cómo demostramos que cualquier dirección es ortogonal? [...] podemos usar el teorema de Pitágoras.

Esto implica, por supuesto, una definición de (cómo medir o comparar) "ángulo(s)" en primer lugar; de tal manera que uno pueda comprender afirmaciones sobre ángulos (distintos) que son "iguales" (o de lo contrario: "no iguales") por ejemplo en el 4º axioma de Euclides (sobre "ángulos rectos") o en el "4º axioma de congruencia" de Hilbert (sobre "ángulos" en general).

En un espacio métrico plano, una definición adecuada de un
"ángulo en el punto $B$, entre direcciones $\vec{BA}$ y $\vec{BC}$", en términos de razones de distancia entre puntos $A$, $B$ y $C$, es:

$ \angle[ ABC ] := \text{ ArcSin } \! \! \! \left[ \frac{\Large 1}{\Large 2} \sqrt{ 2 + 2 \left(\frac{AC}{AB}\right)^2 + 2 \left(\frac{AC}{BC}\right)^2 - \left(\frac{AB}{BC}\right)^2 - \left(\frac{BC}{AB}\right)^2 - \left(\frac{AC}{AB}\right)^2 \left(\frac{AC}{BC}\right)^2 } \, \right] $.

Más generalmente, se puede definir

$ \angle[ ABC ] := \text{ Límite }{ \! \! }_{\{ F, G \}} \! \huge[ $
$ {\Large \{ } \left( \frac{BF}{AB} \right) \rightarrow 0, \left( \frac{BG}{BC} \right) \rightarrow 0, $
$ 2 + 2 \left(\frac{AB}{AF}\right)^2 + 2 \left(\frac{AB}{BF}\right)^2 - \left(\frac{AF}{BF}\right)^2 - \left(\frac{BF}{AF}\right)^2 - \left(\frac{AB}{AF}\right)^2 \left(\frac{AB}{BF}\right)^2 \rightarrow 0, $ $ 2 + 2 \left(\frac{BC}{BG}\right)^2 + 2 \left(\frac{BC}{GC}\right)^2 - \left(\frac{BG}{GC}\right)^2 - \left(\frac{GC}{BG}\right)^2 - \left(\frac{BC}{BG}\right)^2 \left(\frac{BC}{BC}\right)^2 \rightarrow 0 \Large\} \Large[ $ $ \text{ ArcSin } \! \! \! \left[ \frac{\Large 1}{\Large 2} \sqrt{ 2 + 2 \left(\frac{FG}{BF}\right)^2 + 2 \left(\frac{FG}{BG}\right)^2 - \left(\frac{BF}{BG}\right)^2 - \left(\frac{BG}{BF}\right)^2 - \left(\frac{FG}{BF}\right)^2 \left(\frac{FG}{BG}\right)^2 } \, \right] \Large] \huge] $.

En el caso de un espacio métrico plano, esto se presta para definir un
"producto escalar entre vectores $\vec{BA}$ y $\vec{BC}$" como

$ \langle \vec{BA}, \vec{BC} \rangle :=$
$ AB \, \, BC \, \, {\text{ Cos }} \! \! {\large[} \, \angle[ ABC ] \, {\large]} = $
$ AB \, \, BC \, \, \sqrt{ 1 - \frac{\Large 1}{\Large 4} \left( 2 + 2 \left( \frac{AC}{AB} \right)^2 + 2 \left(\frac{AC}{BC}\right)^2 - \left(\frac{AB}{BC}\right)^2 - \left(\frac{BC}{AB}\right)^2 - \left(\frac{AC}{AB}\right)^2 \left(\frac{AC}{BC}\right)^2 \right) } = $ $ AB \, \, BC \, \, \frac{\Large 1}{\Large 2} \sqrt{ 2 - 2 \left( \frac{AC}{AB} \right)^2 - 2 \left(\frac{AC}{BC}\right)^2 + \left(\frac{AB}{BC}\right)^2 + \left(\frac{BC}{AB}\right)^2 + \left(\frac{AC}{AB}\right)^2 \left(\frac{AC}{BC}\right)^2 } = $
$ AB \, \, BC \, \, \frac{\Large 1}{\Large 2} \sqrt{ 1 + \left(\frac{BC}{AB}\right)^2 - \left(\frac{AC}{AB}\right)^2 } \sqrt{ 1 + \left(\frac{AB}{BC}\right)^2 - \left(\frac{AC}{BC}\right)^2 } = $
$ \frac{\Large 1}{\Large 2} \left( AB^2 + BC^2 - AC^2 \right) $,

donde

$ \langle \vec{BA}, \vec{BA} \rangle := AB^2$, y así sucesivamente.

¡Fácil! Mi pregunta es:
¿puede este método utilizarse para demostrar que nuestro concepto de tiempo es ortogonal a nuestro concepto de espacio?

Este método se puede utilizar para expresar relaciones entre vectores "espaciales" y "temporales" o "luminosos" (en un espacio plano adecuadamente suplementado). Se puede hacer que coincida con la asignación de "intervalos" $s$: escribiendo

$ \langle \vec{BA}, \vec{BA} \rangle = \langle \vec{AB}, \vec{AB} \rangle := s_{AB}^2$,

donde

$ s_{AQ}^2 = 0 $ para vector $\vec{AQ}$ luminoso, $ s_{BQ}^2 \lt 0 $ para vector $\vec{BQ}$ temporal, y

$ s_{AB}^2 = -s_{BQ}^2 $ para el "cuadrado de la magnitud" del vector espacial correspondiente $\vec{AB}$, de manera que en este caso en efecto

$ \langle \vec{BA}, \vec{BQ} \rangle = \frac{\Large 1}{\Large 2} \left( AB^2 + BQ^2 - AQ^2 \right) = \frac{\Large 1}{\Large 2} \left( s_{AB}^2 + s_{BQ}^2 + 0 \right) = 0 $

como es característico de vectores ortogonales.

Answer 3

Desde mi respuesta a Diagramas espacio-temporales: Contracción de longitud

Así es como Minkowski describe esto...

De "Espacio y Tiempo" de Minkowski...

Descomponemos cualquier vector, como el de O a x, y, z, t en cuatro componentes x, y, z, t. Si las direcciones de dos vectores son, respectivamente, la de un vector de radio OR desde O hasta una de las superficies ∓F = 1, y la de una tangente RS en el punto R de la misma superficie, los vectores se llaman perpendiculares entre sí. En consecuencia, $$c^2tt_1 − xx_1 − yy_1 − zz_1 = 0$$ es la condición para que los vectores con componentes x, y, z, t y $x_1$, $y_1$, $z_1$, $t_1$ sean perpendiculares entre sí.

En otras palabras,
ubique la intersección de la 4-velocidad de un observador con la hiperbola unitaria (el círculo de Minkowski) centrado en la cola de la 4-velocidad del observador.

La línea tangente a esa hiperbola es Minkowski-perpendicular a la 4-velocidad de ese observador. El eje x de ese observador se dibuja a través de la cola de su 4-velocidad, paralelo a esa línea tangente.

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La "intuición" que se debe tener es que
la tangente al "círculo" en esa geometría
es
ortogonal al vector de radio.

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Para jugar con esta idea, visite mi
diagramador de espacio tiempo de robphy para la relatividad v.8e-2021 (tiempo hacia arriba)
https://www.desmos.com/calculator/emqe6uyzha
Juegue con el deslizador E para cambiar de Minkowski (E=+1), Galileano (E=0) y Euclidiano (E=-1).

(Ver mi respuesta en Significado de simultaneidad en la relatividad especial para más información.)

Answer 4

"¿Podemos demostrar que el tiempo es ortogonal al espacio?" Sí, pero no a través de las matemáticas ya que estas dependen de no diferenciar en cómo 'registramos' el espacio y el tiempo. Incluso la masa en reposo (inercial) ilustra esto. Mides la posición en el espacio de la masa en reposo por la ubicación que OCUPA con respecto a alguna masa inercial de referencia. PERO, mides la 'ubicación' temporal de esta masa a través de un evento de percepción-medición evento. [La masa en reposo inercial no tiene una ubicación temporal definida; solo los eventos tienen tal.] Esto es Ontología 101; no requiere Matemáticas 801. Mides el espacio y el tiempo de manera totalmente diferente porque la masa en reposo reside (ocupa) solo en una dimensión, lo que no le da una ubicación definida en la otra [tiempo] dimensión. Tu medida/ubicación temporal de la masa es ortogonal, a través de un EVENTO. Residir (ocupar-existir) en una ubicación y el evento (ocurrencia) de una ubicación son diferentes. [¡Pero nadie presta atención a esto :-(]