Kendall tau y RKHS espacios

Question

Dadas dos variables aleatorias $X_1$$X_2$, la de Kendall tau coeficiente de correlación podría ser definido como $$\tau(X_{1},X_{2})=\mathbb{P}\Big((X_{1}-\tilde{X}_{1})(X_{2}-\tilde{X}_{2})>0\Big)-\mathbb{P}\Big((X_{1}-\tilde{X}_{1})(X_{2}-\tilde{X}_{2})<0\Big)$$ donde $(\tilde{X}_1, \tilde{X}_2)$ son independientes de las copias de $(X_1,X_2)$.

Me preguntaba si es posible ofrecer una interpretación de Kendall tau correlación como un núcleo correspondiente a RKHS, explícita o implícitamente ?

Answer 1

Por Moore-teorema de Aronszajn, $\tau$ es el kernel para algunos RKHS iff es simétrica y positiva semidefinite. (El enlace se utiliza el término "positiva definida" para significar el equivalente de la psd para matrices, por desgracia; que la terminología no está estandarizado.)

Actualización: Lo que había aquí antes de que se basa en una comprensión errónea del marco de trabajo (así como un error en la definición de $\tau$ en la pregunta original); véase los comentarios.

El nuevo $\tau$ es claramente simétrica. Todavía no estoy seguro si es la psd. Como @cardenal señaló, al menos satisfacer $\tau(X, X) = 1$ $-1 \le \tau(X, Y) \le 1$ continua de las Caravanas, que es un buen comienzo.