Estaba revisando mis viejos conjunto de los problemas de la tarea que he encontrado este:
Si $G$ es un grupo, muestran que $x^2ax=a^{-1}$ tiene una solución si y sólo si $a$ es un cubo en $G$.
Una dirección es fácil. Si $a$ es un cubo en $G$ existe $y \in G$ tal que $a=y^3$. Ahora, con las manipulaciones directas se muestra que $x=y^{-2}$ es una solución a $x^2ax=a^{-1}$.
La otra dirección es más difícil, aunque. La primera vez que intentó aislar $x$ y, a continuación, de alguna manera, muestran que es necesario para $a$ a ser un cubo. Pero como yo no tenía idea de cómo aislar $x$ me di por vencido. Entonces me decidí a probar la existencia de $y \in G: a=y^3$ mostrando que un particular mapa es bijective así que puede venir para arriba con un buen cambio de variable a la conclusión de que la $a$ debe ser un cubo, pero este intento fracasó también. Estoy cansado ahora, así que creo que la voy a dar. Estoy buscando una sugerencia o una solución completa si una pista no es posible en esta etapa.
