¿Cómo resolver $\int_0^\infty J_0 (x) \ \text{sinc} (\pi\,x) \ e ^ {-x} \,\mathrm dx$?

Question

Algunos necesito ayuda resolver esta integral con función de Bessel:

$\hspace{2in}\displaystyle\int_0^\infty$$J_0 (x) \ $$\text {sinc} (\pi\,x) \ $$e ^ {-x} dx \,\mathrm. $

Answer 1

Prudnikov-Brychkov-Marychev (Vol. II, fórmula 2.12.8.5) nos dice que $$\int_0^{\infty}\frac{1-e^{-px}}{x}J_0(x)dx=\ln\left(p+\sqrt{p^2+1}\right)$$ Tomando la diferencia de esta fórmula con $p=1-i\pi$ y $p=1+i\pi$, se obtiene \begin{align}\int_0^{\infty}J_0(x)\mathrm{pues}(\pi x)e^{-x}dx&=\frac{1}{2\pi i}\ln\frac{1+i\pi+\sqrt{(1+i\pi)^2+1}}{1-i\pi+\sqrt{(1-i\pi)^2+1}}=\\ &=\frac{1}{\pi}\arctan\frac{\pi\sqrt{2}+\sqrt{\pi^2-2+\sqrt{\pi^4+4}}}{ \sqrt{2}+\sqrt{2-\pi^2+\sqrt{\pi^4+4}}}. \end{align}

Answer 2

O.L.' s respuesta es absolutamente correcta. Solo quiero generalizar un poco la fórmula: \forall $$ un > 0, \int_0^\infty \hspace {5 mm} J_0 (x) \ \text{sinc}(a\,x) \ e ^ {-x} \,\mathrm dx=\frac1a\arctan\sqrt{\frac{2}{\sqrt{a^4+4}-a^2}-1}.$$

Answer 3

Aquí está una evaluación de la integral utilizado por O. L..

$$\begin{align} \int_{0}^{\infty} \frac{1-e^{-px}}{x} J_{0}(x) \ dx &= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} (1-e^{-px})J_{0}(x) e^{xt} \ dt \, dx \\ &= \int_{0}^{\infty} \left( \int_{0}^{\infty} J_{0}(x) e^{-tx} \, dx \ - \int_{0}^{\infty} J_{0}(x) e^{-(p+t)x} \, dx \right) \ dt \\ &= \int_{0}^{\infty} \Bigg( \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1+(p+t)^{2}}} \Bigg)\ dt \etiqueta{1} \\ &= \text{arcsinh}(t) -\text{arcsinh}(p+t) \Bigg|^{\infty}_{0} \\ &= \texto{arcsinh}(p) \\ &= \ln \left(p+\sqrt{p^{2}+1} \right) \end{align}$$

$(1)$ http://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html