Equivalencia de $\|x\|_1\|x\|_{\infty}$ $\|x\|_2^2$

Question

Deje $x$ ser complejas $n$-vector y deje $\|\cdot\|_p$ denotar la habitual $p$-norma. Es fácil mostrar que $\|x\|_2^2\leq\|x\|_1\|x\|_{\infty}$ (Hölder de la desigualdad). Lo que más bien me interesa es la inversa de la desigualdad: la búsqueda de un $c$ ($c>1$) tal que $$\etiqueta{1} \|x\|_1\|x\|_\infty\leq c\|x\|_2^2\quad\text{para todos los $x$.} $$ Obviamente, $\|x\|_1\leq\sqrt{n}\|x\|_2$$\|x\|_\infty\leq\|x\|_2$, para un fácil candidato es $c_\mathrm{naive}:=\sqrt{n}$. Sin embargo, parece que una mejor constante es casi la mitad de los ingenuos: $c_\mathrm{better}:=(1+\sqrt{n})/2$. Me preguntaba acerca de una prueba de esto, mejor $c$, es decir, ¿cómo demostrar que

$$\tag{2}\|x\|_1\|x\|_\infty\leq\frac{1+\sqrt{n}}{2}\|x\|_2^2\quad\text{for all $x\in\mathbb{C}^n$.}$$

WLOG podemos asumir que $x:=[1,y^T]^T$ donde $\|y\|_\infty\leq 1$, por lo que la búsqueda de la óptima $c$ en (1) es equivalente a encontrar (o delimitación de la anterior) $$\etiqueta{3} c_\mathrm{óptimo}:=\max_{\|s\|_\infty\leq 1}\frac{1+\|s\|_1}{1+\|s\|_2^2}\;. $$ Por alguna experimentación, parece ser que en realidad (2) es fuerte, que es, $c_\mathrm{optimal}=c_\mathrm{better}$, y el límite en (2) se alcanza por $x=[1,\alpha,\ldots,\alpha]^T$ donde $\alpha=1/(\sqrt{n}+1)$.

Dado que este es un problema en un capítulo inicial de la Matriz de Cálculos por Golub y Van Loan, supongo que demostrar su no puede ser demasiado complicado y, desde un indicio de falta, en realidad debería ser bastante fácil. Cualquier entrada será muy appretiated; una sugerencia si es posible :-)

Answer 1

Deje $x$ ser un vector en $\mathbb R^n$ con un valor no negativo entradas. Suponga $x_1$ es el más grande de ellos. Entonces tenemos que probar $$ x_1 \cdot \sum_{i=1}^n x_i \le c \sum_{i=1}^n x_i^2. $$ Mi idea es estimar, para $i\ne 1$ $a>0$ $$ x_1 x_i \le \frac1{2a}x_1^2 + \frac a2 x_i^2. $$ Con el fin de obtener un equilibrado estimación, $$ 1+(n-1)\frac1{2a} = \frac a2 $$ es necesario. Establecimiento $a= 1+\sqrt n$ da $c=\frac{1+\sqrt n}2$.

Answer 2

Cuando todas las coordenadas son iguales, tienen $\|x\|_2^2\leq\|x\|_1\|x\|_{\infty}$ (con la igualdad de hecho, pero no sé escribir esto con Comandos de TeX). Por consiguiente, usted no puede tener c > 1 como la constante que se esperaba. (Creo que estaba un poco confundido!)