homeomorphism no-ejemplo

Question

Un homeomorphism es una función continua entre espacios topológicos que tiene un continuo de la función inversa.

Alguien puede proporcionar ejemplos de una función continua entre espacios topológicos que no tiene un continuo de la función inversa?

De que me ayudaría a comprender la intuición de lo que es un homeomorphism es.

Siéntase libre de utilizar diferentes espacios topológicos para sus ejemplos (pero al menos uno con $\mathbb{R}$ sería bueno)!

Answer 1

El ejemplo estándar es un intervalo y un círculo. Considerar el intervalo de $[0,2\pi)$ y el círculo de $S^1 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \, | \, x^2 + y^2 = 1 \}$ (con la topología inducida por como un subconjunto de a $\mathbb{R}^2$). Usted tiene un mapa continuo $\varphi \colon [0,2\pi) \rightarrow S^1$$\varphi(\theta) = (\cos(\theta), \sin(\theta))$. Este mapa es de uno a uno y sobre, pero no tiene una inversa continua.

A la inversa mapa de $\varphi^{-1} \colon S^1 \rightarrow [0,2\pi)$ toma un punto de $(x,y)$ sobre el círculo y devuelve el ángulo que el vector $(x,y)$ hace con el $x$-eje, en radianes, en el rango de $[0,2\pi)$. Este mapa no es continua porque si nos fijamos enfoque el punto de $(0,1)$ sobre el círculo con los puntos que tienen un resultado positivo en $y$-coordinar, el ángulo de $\varphi^{-1}$ enfoque de $0$, mientras que si se acerca al punto de $(0,1)$ con los puntos que tienen una negativa $y$-coordinar, el ángulo de $\varphi^{-1}$ "enfoque de $2\pi$"así que el "límite de izquierda" y "derecha" límite de a $(0,1)$ no son iguales para $\varphi^{-1}$.

(Esto no es del todo rigurosa, porque consideramos que el mapa de $\varphi^{-1}$ como un mapa con codominio $[0,2\pi)$ $2\pi$ no está en el codominio y, de hecho, cuando nos acercamos a $(0,1)$ con los puntos que tienen una negativa $y$-coordinar, el ángulo de $\varphi^{-1}$ no tienen un límite en $[0,2\pi)$ a todos! Sin embargo, esto es suficiente para mostrar que el $\varphi^{-1}$ no puede ser continuo).

Answer 2

De una forma genérica para obtener ejemplos de bijective funciones continuas cuya inversa no es continua, es para solucionar algunos de $X$ y poner dos diferentes topologías $T_1$$T_2$$X$, de tal manera que $T_2\subset T_1$. Ahora la identidad de la función de $X$ a sí mismo (con la topología de ser $T_1$ sobre el dominio y $T_2$ en el codominio) será continua y bijective, pero a menos $T_1 = T_2$ no va a ser un homeomorphism.

Answer 3

$$ (\theta\in [0,1))\mapsto((\cos\theta,\sin\theta)\en\text{círculo}). $$

Este es continua.

Pero como usted se mueve a lo largo del círculo, $\theta$ tiene un salto de discontinuidad donde salta de $1$ $0$o de $0$ $1$(dependiendo de si eres de las agujas del reloj o en sentido contrario).

Answer 4

Constante de las funciones son continuas. Por lo que considerar el espacio que tiene más de un punto, el círculo de $S = \{(\cos \theta, \sin\theta) \mid \theta\in\Bbb R\}$, considerado como un subespacio de $\Bbb R^2$. Un mapeo $f:S\to\{x\}$ es continua, pero no es un homeomorphism, porque no es un bijection. Y, de hecho, el círculo es no homeomórficos a un solo punto.

Ahora considere la asignación desde el círculo de $S$ para el intervalo cerrado $[-1,1]$ donde cada punto de $(x, y)$ se transforma en el valor de $y$. Esta asignación es continua pero no es un homeomorphism (no invertible) y, de hecho, el círculo es no homeomórficos para el intervalo cerrado $[-1,1]$.

Para un ejemplo, que es un bijection, considere la asignación de $f$ desde el espacio $X = [0, 1) \cup [2,3]$, considerado como un subconjunto de la recta real, que se define como sigue: $$f(x) = \begin{cases} x & \text{if $x< 1$} \\ x-1 & \text{si $x>1$}\end{casos}$$

Esta es una continua bijection de $X$ para el intervalo de $[0,2]$, pero su inversa es no continua y, de hecho, $X$ es no homeomórficos para el intervalo de $[0,2]$, debido a $[0,2]$ está conectado y $X$ no lo es.