Los anillos locales versus anillos locales calificados

Question

Muchas veces veo teoremas indicado para locales de los anillos, pero por lo general son también cierto para los "clasificados locales anillos", es decir, clasificados anillos con un único homogéneo ideal maximal (como el polinomio de anillo). Por ejemplo, la de Hilbert teorema de sicigias, el de Auslander-Buchsbaum fórmula, las declaraciones relacionadas con local cohomology, etc.

Pero no es del todo claro para mí de lo ajustado de esta analogía es. Yo, ciertamente, no espere que todas las declaraciones sobre los anillos de extender a los clasificados locales anillos, así que me gustaría saber acerca de algunas "trampas" en el caso de que me decidiera a hacer un "oh, sí, obviamente se extiende" falacia. ¿Cuáles son algunos ejemplos de afirmaciones que son verdaderas para local de los anillos, cuya gradual análogos no son necesariamente cierto? O de otra relacionada con la pregunta: ¿qué tipo de intuición debo tener cuando quiero a la conclusión de que las declaraciones que se han graduado versiones?

Existe una noción de "generalizada anillo local" debido a Goto y Watanabe, que incluye clasificados locales anillos y local de los anillos: una positiva gradual anillo que es finitely generado como un álgebra sobre su grado cero de la parte, y su grado cero de la parte es un anillo local, por lo que una posibilidad es solo para ver si esta más débil definición es suficiente para demostrar la declaración. Por supuesto, el problema viene cuando las pruebas citan otras fuentes y se tornan inmanejables que se remontan a los primeros principios.

Answer 1

Una pequeña cosa que yo sé de lo que cambia es que si uno tiene un Z-clasificados-conmutativa noetherian anillo (donde Z es de los enteros) Matlis clasificación de indecomposable inyectiva módulos pasa a través de, pero con un pequeño contratiempo.

Cada indecomposable inyectiva es isomorfo a E(R/p)[n] para algunas único homogéneo primer ideal p, pero el turno entero n no es necesariamente único, aunque bajo la hipótesis creo que usted está interesado en uno, probablemente, se presenta la singularidad. No puedo pensar en un ejemplo en el que esto realmente hace mucho de un problema.

Al pensar en esto un poco más, creo que entero no negativo gradual local noetherian anillos, en particular los generados en el grado 1 tal que la máxima homogénea ideal también es maximal si uno se olvida de la clasificación, están muy bien educados y la analogía con el local de los anillos es muy buena. De hecho, hay incluso una versión de Nakayama del lema de tales anillos (tal vez uno necesita un poco más) que es más fuerte que el habitual, en el sentido de que uno puede caer a la finitud de la condición en el módulo. También no hay problemas con la gradual versiones de primer evitación, etc... en general.

Me gustaría recomendar la sección 1.5 de Cohen-Macaulay Anillos por Bruns y Herzog donde probar que un montón de estándar de los hechos todavía ir a través de y uno puede ver lo que funciona y lo que no cambia en las pruebas.

Como mencioné en el comentario creo que uno tiene que ser más cuidadoso al considerar los anillos graduados por cosas como monoids que no son tan bueno como el de los enteros no negativos. En particular, si la calificación no es positiva (es decir, algunos elementos de la monoid son invertible) y/o si el monoid no es cancellative en la identidad (es decir, a+b = a no implica que b es la identidad). Creo que en el no-cancellative caso de que uno puede construir un contraejemplo a Nakayama del lema, pero no estoy 100% seguro de esto.

Answer 2

Voy a intentar dar algunos intuición geométrica, ¿por qué debe haber una analogía entre lo local anillos y gradual de los anillos con la única homogénea máximo ideal. Tal vez esto también ayuda a adivinar si un enunciado verdadero locales de los anillos deben mantenerse aún en el graduado de caso. Graduado k-Álgebra puede ser pensado como un espacio afín con $k^*$-acción. Homogénea primer ideales corresponden a invariantes cerrado sub-variedades. Por lo que su tipo de álgebras corresponde a espacios con exactamente un punto fijo. Por ejemplo, en el caso de que el polinomio anillo de su $k^n$, con la evidente acción del grupo multiplicativo y $0$ es el punto fijo. A partir de este ejemplo vemos que la acción puede ser utilizado para "contratar" el espacio para el punto fijo. Por lo tanto, el carácter local del espacio.