¿Alguien puede dar un ejemplo de dos continuo mapas, vamos a decir $f,g \colon X \to Y$, de tal manera que el conjunto $A =\{ x \in X \mid f(x) = g(x) \}$ no está vacío, los dos mapas son homotópica pero no hay homotopy entre estos la función relativa a cualquier no vacío subespacio de $A$?
Respuestas
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Deje $X = S^1$, vamos a $p \in S^1$, y deje $Y = S^1 \times [0;1]$ $(p,0)$ $(p,1)$ identificado. A continuación, vamos a $f(x) = (x,0)$$g(x) = (x,1)$. Claramente, $h(x,t) = (x,t)$ es un homotopy de$f$$g$, pero no hay homotopy relativa a $p$.
Supongamos $h : S^1 \times [0;1] \to Y$ es un homotopy de $f$ $g$tal que $h(p,t) = (p,0)$ forall $t$.
Deje $q$ ser un punto de $S^1$ distinta de la de $p$, e $A$ ser el arco de componentes conectados de $(q,0)$ $(S^1 \times [0;1]) \setminus h^{-1}(\{(p,0)\})$ (este set contiene $(q,0)$ porque $h(q,0) = f(q) = (q,0) \neq (p,0)$) y definir $\tilde h : S^1 \times [0;1] \to Y$$\tilde h(x,t) = h(x,t)$$(x,t) \in A$, e $\tilde h(x,t) = (p,0)$$(x,t) \notin A$.
$\tilde h$ es todavía continua : El arco de los componentes conectados de un conjunto abierto son abiertos, por lo que si $h(x,t) \neq (p,0)$, no es una vecindad de a $(x,t)$ en su arco-componente conectado, y en ambos casos (tanto si es el de $(q,0)$ o no), $\tilde h$ es continua allí.
Si $h(x,t) = (p,0)$, ya que el $h$ es continua, por cada barrio de $U$ $(p,0)$ no es un barrio de $V$ $(p,0)$ tal que $h(V) \subset U$. Desde $\tilde h(V) \subset h(V) \cup \{(p,0)\} = h(V) \subset U$, el mismo barrio de obras para mostrar $\tilde h$ es continua en a $(x,t)$.
Si $(q,1) \notin A$, $(x,1) \notin A$ forall $x \in S^1$, lo $\tilde h$ es un homotopy entre el $f$ y el constante mapa de $(p,0)$, lo cual es imposible debido a $f$ hace un bucle alrededor del cilindro y la constante mapa no.
Por lo tanto $(q,1) \in A$. Tenemos un camino de $\gamma : [0;1] \to S^1 \times [0;1] = (\gamma_1,\gamma_2)$ tal que $\gamma(0) = (q,0), \gamma(1) = (q,1)$, e $h \circ \gamma$ no toque el $(p,0)$. En particular, $\gamma$ no toque ninguna $(p,t)$, por lo que su primera coordenada, $\gamma_1$, tiene valores en $S^1 \setminus \{p\}$.
Si hemos de identificar más de $S^1 \times \{0\}$ $S^1 \times \{1\}$ ( $Y$ ) para obtener un 'toro', $h \circ \gamma$ es un bucle de$(q,0)$$(q,1)$, que los lazos exactamente una vez alrededor de la segunda coordenada. Pero, de hecho, también es un bucle homotópica a la nula bucle :
Escoge un mapa continuo $\kappa : (S^1 \setminus \{p\}) \times [0;1] \to S^1$ tal que $\kappa(x,0) = x$ $\kappa(x,1) = p$ forall $x$, y definir $\theta : [0,1] \times [0,1]$$\theta(t,s) = h(\kappa(\gamma_1(t),s),\gamma_2(t))$. Es un bucle homotopy entre el$h \circ \gamma$$p$ :
$\theta(0,s) = h(\kappa(q,s),0) = f(\kappa(q,s)) = (\kappa(q,s),0)$, el cual se identifica a
$\theta(1,s) = h(\kappa(q,s),1) = g(\kappa(q,s)) = (\kappa(q,s),1)$.
$\theta(t,0) = h(\kappa(\gamma_1(t),0),\gamma_2(t)) = h(\gamma_1(t),\gamma_2(t)) = h \circ \gamma(t)$
$\theta(t,1) = h(\kappa(\gamma_1(t),1),\gamma_2(t)) = h(p,\gamma_2(t)) = (p,0)$
Esto es imposible, así que no puede existir $h$.
Giorgio Mossa
Puntos
7801
De hecho recientemente he vuelto a este problema y me he encontrado otro contraejemplo.
Considerar el espacio $$X= \{ (x,y) \in \mathbb R^2| (x \ne 0 \land y/x \in \mathbb Q) \lor x=0\}$$ este es el espacio formado por las líneas rectas con racional de la pendiente.
Este espacio puede ser la deformación se retractó en el punto de $(0,0)$, voy a llamar a $p \colon X \to X$ la constante mapa enviar a $X$ en este punto, y por lo que la identidad es relativa homotópica a $p$. El punto de $(0,0)$ es el único punto al que todo el espacio de la deformación se retrae.
Claramente cada una de las otras constantes mapa es homotópica a este mapa, por lo que todos los demás constante mapa es homotópica a la identidad. Cualquier constante mapa tiene un único punto fijo, que es claramente fijado por la identidad. La identidad no se puede homotopy equivalente para cualquier constante mapa relativamente a la de punto fijo, con la excepción de $p$, porque de lo contrario la relación homotopy sería una deformación de retracción de $X$ en este otro punto, que no es posible para dicho anteriormente.
