Trigonométricas igualdad: $\frac{1 + \sin A - \cos A}{1 + \sin A + \cos A} = \tan \frac{A}{2}$

Question

Pueden ustedes darme una pista sobre cómo proceder con probar este trigonométricas igualdad? Tengo la sensación de que necesita para utilizar la mitad del ángulo de identidad para $\tan \frac{\theta}{2}$. Las cosas que he probado hasta ahora(multiplicando numerador y denominador por $1 + \sin A - \cos A$) ha llevado a un callejón sin salida.

Demostrar que, $$\dfrac{1 + \pecado - \cos A}{1 + \sin Un + \cos A} = \tan \dfrac{A}{2}$$

Answer 1

Ahora que el OP ha entendido cómo probar esto, aquí es una prueba geométrica para ciertos ángulos, sólo por diversión :-)

Considerar la figura:

$\displaystyle \triangle ABC$ es un ángulo recto triángulo rectángulo con el ángulo recto está en el $\displaystyle C$.

$\displaystyle \angle{CAB} = A$ $\displaystyle AB = 1$ e lo $\displaystyle BC = \sin A$$\displaystyle AC = \cos A$.

Ahora $\displaystyle AO$ es la bisectriz angular de $\displaystyle \angle{CAB}$. Seleccionamos $\displaystyle O$, de modo que $\displaystyle O$ es el centro (punto de intersección de angular bisectrices de un triángulo). Deje que el radio de $\displaystyle OD$$\displaystyle r$.

Ahora $\displaystyle BE = BF$ $\displaystyle AE = AD$ y añadiendo nos da $\displaystyle BF + AD = AB = 1$

Ahora $\displaystyle BF = BC - FC =BC - OD$ ($\displaystyle ODCF$ es un cuadrado).

Por lo tanto $\displaystyle BF = \sin A - r$. Del mismo modo $\displaystyle AD = \cos A - r$.

Por lo tanto $\displaystyle \sin A + \cos A - 2r = 1$.

El uso de $\displaystyle \triangle ADO$, $\displaystyle \tan \frac{A}{2} = \frac{OD}{AD} = \frac{r}{\cos A - r}$

Desde $\displaystyle 2r = \sin A + \cos A -1$ tenemos

$$\tan \frac{A}{2} = \frac{2r}{2\cos A - 2r} = \frac{\sin A + \cos A - 1}{\cos A - \sin A + 1}$$

Es fácil comprobar que

$$\frac{\sin A + \cos A - 1}{\cos A - \sin A + 1} = \frac{\sin A - \cos A + 1}{\cos A + \sin A + 1}$$

Esporádicamente, el hecho de que en un triángulo rectángulo (hipotenusa $c$), la radio está dado por $a + b -c = 2r$, y también por $r = \frac{\triangle}{s}$ ($\triangle$ es el área, $s$ es el semi-perímetro) puede ser usado para demostrar el teorema de pitágoras ($a^2 + b^2 = c^2$)!

Answer 2

Hay un teorema$^1$ que es vale la pena conocer (yo lo he utilizado en esta respuesta a esta pregunta) que establece que:

Todo directo de las funciones trigonométricas de $A$ ($2\alpha$) puede ser expresado de manera racional en términos de la tangente de $\frac{A}{2}$ ($\alpha$).

La combinación de $\sin A=2\sin \frac{A}{2}\cdot \cos \frac{A}{2}$ y $\cos ^{2} \frac{A}{2}+\sin ^{2}\frac{A}{2}=1$, we get (for $\cos \frac{A}{2}\neq 0$)

$$\sen A=\frac{2\sin \frac{A}{2}\cdot \cos \frac{A}{2}}{\cos ^{2}\frac{A}{2} +\sin ^{2}\frac{A}{2}}=\frac{2\tan \frac{A}{2}}{1+\bronceado ^{2}\frac{A}{2}}; \qquad (1)$$

y de$\cos A=\cos ^{2}\frac{A}{2}-\sin ^{2}\frac{A}{2}$$\cos \frac{A}{2}\neq 0$,

$$\cos A=\frac{\cos ^{2}\frac{A}{2}-\sin ^{2}\frac{A}{2}}{\cos ^{2}\frac{A}{2} +\sin ^{2}\frac{A}{2}}=\frac{1-\bronceado ^{2}\frac{A}{2}}{1+\bronceado ^{2}\frac{A}{2}}. \qquad (2)$$

Para probar la identidad de multiplicar el LHS numerador y el denominador por $1+\bronceado ^{2}\frac{A}{2}$ and use $(1)$ and $(2)$:

$$\begin{eqnarray*} \frac{1+\sin A-\cos A}{1+\sin A+\cos A} &=&\frac{1+2\tan \frac{A}{2}-1+\tan ^{2}\frac{A}{2}}{1+2\tan \frac{A}{2}+1+\tan ^{2}\frac{A}{2}} \\ &=&\frac{2\tan ^{2}\frac{A}{2}+2\tan \frac{A}{2}}{2+2\tan \frac{A}{2}}=\tan \frac{A}{2}. \end{eqnarray*}$$

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$^1$ J. Calado, Compêndio de Trigonometria, 1967.

Answer 3

Primero escribo $A=2b$. A continuación, hacer un uso adecuado de $\tan b=\sin b/\cos b$, $\sin2b=2\sin b\cos b$, y $\cos2b=2\cos^2b-1=1-2\sin^2b$.

Answer 4

El siguiente es un método que, en general, yo no la causa como un enfoque para probar la costumbre identidades trigonométricas con la mano. Sin embargo, la idea tiene buenas conexiones con otras partes de las matemáticas, así que vale la pena mencionar.

Hay una norma racional parametrización de (más de) el círculo unidad. Deje $t=\tan(\theta/2)$. Entonces $$\cos \theta=\frac{1-t^2}{1+t^2} \qquad \text{and} \qquad \sin\theta=\frac{2t}{1+t^2}.$$ Esta parametrización da un método general para la integración de funciones racionales de $\sin\theta$$\cos\theta$. El proceso de parametrización de la misma con carácter general son útiles en la teoría de números y en otros lugares.

En nuestro problema, el lado izquierdo es $$\frac{1+\frac{2t}{1+t^2}-\frac{1-t^2}{1+t^2}}{1+\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}}.$$ Traer la parte superior e inferior para el común denominador $1+t^2$. Cosas colapso, obtenemos $t$. (Como en el trigonométricas pruebas, vamos a cerrar nuestros ojos a la división por $0$.)