Cómo puedo probar para $n\ge 2$ que $$ 2^{n}-1 \nmid \ 3^{n}-1$$ No he sido capaz de hacer cualquier progreso en este del tipo que sea. Agradecería si alguien me puede dar una sugerencia!
Respuestas
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Si $n$ es incluso, considerar modulo $3$.
Suponga $n$ es impar, y supongamos por contradicción que la división tiene. Si $p=4k+3$ es un divisor primo de $2^n-1$, entonces también es un divisor primo de $3^n-1$. El uso de este y de la reciprocidad cuadrática, se puede mostrar que el $p=3l+2$ para algunos entero $l$? Del mismo modo, si $p=4k+1$, muestran que $p=3l+1$ algunos $l$.
Esto significa que el primer divisores $\equiv 3\pmod 4$ $2^n-1$ son exactamente los $\equiv 2\pmod 3$. Desde $2^n-1\equiv 3\pmod 4$, debe haber un número impar de ellos (contando multiplicidades), lo que significa que se multiplican a $2\pmod 3$. Esto significa $2^n-1\equiv 2\pmod 3$ así, una contradicción.
Jorrit Reedijk
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Me gustaría relacionar el problema a una conocida (pero sin resolver) conjetura, de donde la pregunta que inmediatamente sería respondida desde una consecuencia de la famosa Waring-problema (véase, por ejemplo, mathworld, "poder de las fracciones").
Nos reorganizar la expresión y adaptarlo a la expresión similar que se produce en el Waring-problema:
$$\Grande \begin{array}{} {3^n-1 \over 2^n-1} &= {3^n \over 2^n-1}-{1 \over 2^n-1} \\
&= {3^n \over 2^n}+{3^n \over 4^n}+{3^n \over 4^n}\left({1 \over 2^n}+{1 \over 4^n}...\right)-1\left({1 \over 2^n}+{1 \over 4^n}...\right) \\
&={3^n \over 2^n}+{3^n \over 4^n} - \left(1-{3^n \over 4^n}\right){1 \over 2^n-1} \\
{3^n-1 \over 2^n-1} & \lt {3^n \over 2^n}+{3^n \over 4^n} \end{array}
$$
La comparación en el lado derecho de la "$\lt$" refleja un detalle de la Waring-problema: no tenemos la conjetura (para $n \gt 6$), que
$$ \Grande \begin{array}{}
& \Big \lfloor {3^n \over 2^n} \Big \rfloor & \lt &{3^n \over 2^n}-{3^n \over 4^n} & \qquad \small ( \text{ and of course } \lt{3^n \over 2^n} )\\
\small \text{and} &&& {3^n \over 2^n}+{3^n \over 4^n} &\lt \Big \lceil {3^n \over 2^n} \Big \rceil \end{array}$$
Por lo tanto, si el Waring-conjetura tiene, tenemos que $ {3^n-1 \over 2^n-1} $ es menor que el lado mayor entero por encima de $ {3^n \over 2^n} $ así obtenemos inmediatamente que $2^n-1 $ nunca se dividen equitativamente $3^n-1$ al $n \gt 6$ .
Esto me parece un bonito y desafiante de la conjetura.
Por desgracia, la prueba interesante de @pi66 no a la inversa ayuda para la verdad de la Waring-conjetura...
