Los elementos diagonales de una matriz simétrica especial

Question

A $n \times n$ matriz $M$ es una matriz simétrica, donde $n$ es impar( $i.e.n=2k+1,k\in \mathbb{Z}^{+}\cup{\{0\}}$ ). Cada fila de $M$ es una permutación de $\{1,2,\cdots,n\}$ . Demuestre que los elementos diagonales de $M$ también es una permutación de $\{1,2,\cdots,n\}.$

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$e.g.$ cuando $n=3,$ todas las posibles matrices que satisfacen $M$ Los requisitos de la empresa son los siguientes:

$$\begin{pmatrix} {\color{red} 3} & 2 & 1\\ 2& {\color{red}1}& 3\\ 1 & 3& {\color{red}2} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} {\color{red}3} & 1 & 2\\ 1& {\color{red}2}& 3\\ 2 & 3& {\color{red}1} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \color{red}2 & 1 & 3\\ 1& \color{red}3& 2\\ 3 & 2& \color{red}1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \color{red}2 & 3 & 1\\ 3& \color{red}1& 2\\ 1 & 2& \color{red}3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} {\color{red}1} & 2 & 3\\ 2& {\color{red}3}& 1\\ 3 & 1& {\color{red}2} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} {\color{red}1} & 3 & 2\\ 3& {\color{red}2}& 1\\ 2 & 1& {\color{red}3} \end{pmatrix}.$$

Obviamente, los elementos diagonales de cada uno son una permutación de $\{1,2,3\}.$

Para $n=2k+1,k\geq 2 ,k\in \mathbb{N}.$ Considero el polinomio característico de $M$ : $$f_{\mathbf{M}}(\lambda)=(\lambda-\frac{n(n+1)}{2})(\lambda^{2}+a_{1}\lambda+b_{1})\cdots(\lambda^{2}+a_{k}\lambda+b_{k}).$$ Si podemos probar $a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{k}=0,$ entonces $\mathbb{trace}(M)=\frac{n(n+1)}{2}.$ Además, si podemos probar el producto de los elementos diagonales $\prod_{i=1}^{n}a_{11} a_{22}\cdots a_{nn}=n!,$ entonces la cuestión se resolverá. Pero ambas cosas no son fáciles de demostrar. Si tienes alguna buena idea, por favor, dame algunas pistas.

Answer 1

Basta con un simple argumento de paridad. Por supuesto, cada elemento de $S=\{1,2,\ldots,n\}$ debe ocurrir un número impar de veces (o más exactamente, $n$ veces). Sin embargo, si algún elemento de $S$ no aparece en la diagonal, debe aparecer en $M$ un número par de veces, porque la matriz es simétrica y los elementos no diagonales aparecen por pares.