Ejemplo de functor Ext relativo

Question

Saludos,

He estado leyendo "Homología" de Maclane y me he encontrado con la siguiente pregunta:

Dejemos que $(R,S)$ sea un par resolvente del anillo, es decir $R$ es un $S$ -y tenemos un functor $\Psi \colon \operatorname{R-Mod} \to \operatorname{S-Mod}$ que es aditivo exacto y fiel. También tenemos un functor adjunto a la izquierda de $\Psi$ , a saber $F \colon \operatorname{S-Mod} \to \operatorname{R-Mod}$ .

Se define entonces como relativo $Ext_{(R,S)}$ functor, utilizando la resolución de la barra. Me pueden ayudar a encontrar un ejemplo concreto de un caso en el que $Ext^1_{(R,S)} \neq Ext^1_R$ (donde $Ext^1_R$ es el regular $Ext$ functor).

Mi opinión al respecto. Uno puede identificar $Ext^1_{(R,S)}(A,B)$ con el conjunto de extensiones de $B$ por $A$ que son $S$ -Separación. Entonces hay que encontrar una extensión en $R$ que no es $S$ -split para hacer el truco. Pero este argumento se siente un poco como una trampa.

Se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

Bueno, si $R=S$ , entonces un $S$ -la extensión de Split es obviamente también $R$ -split, so $\operatorname{Ext}^1_{(R,S)}$ es siempre cero. Por otro lado, $\operatorname{Ext}^1_{R}$ puede ser prácticamente lo que quieras.