¿Existe alguna forma de demostrar que los planos proyectivos finitos de $7$ ¿los puntos son únicos hasta el isomorfismo?

Question

Estaba leyendo sobre el Plano de Fano el plano proyectivo más pequeño posible. Después de jugar con él, parece que cualquier plano proyectivo de 7 puntos será isomorfo al plano de Fano.

Sin embargo, siempre he tenido problemas a la hora de mostrar isomorfismos entre conjuntos de puntos y líneas, porque parece que cualquier función entre dos conjuntos es realmente una asignación de puntos a otros puntos que preserva las líneas, pero no hay ninguna función fija agradable que mapee elementos a otros basada en alguna regla dura y rápida, como por ejemplo $x\mapsto x^2$ o $(x,y)\mapsto x-y$ etc.

¿Existe una forma elegante de demostrar que cualquier plano proyectivo de 7 puntos es necesariamente isomorfo al plano de Fano? Sólo se me ocurre agotar todas las permutaciones de puntos y líneas y decir "Mira, si estos puntos $A$ , $B$ , $C$ están en una línea $l$ aquí, entonces $f(A), f(B), f(C)$ están en una línea $f(l)$ aquí". Pero esto parece que es forzar el asunto, y no es muy eficiente en absoluto, teniendo en cuenta que hay muchas maneras de conectar los puntos. ¿Cuál es la mejor manera de hacer algo así? Gracias.

Answer 1

Parece que se puede utilizar la enorme simetría del plano de Fano para esto. Puedes elegir una línea $ABC$ y un punto fuera de la línea $D$ y elegir $f(A)$ y $f(B)$ de forma arbitraria, $f(C)$ es el tercer punto de la línea $AB$ , y elegir $f(D)$ arbitrariamente diferente de los tres primeros. Entonces, si las líneas que pasan por $D$ son $ADE$ , $BDF$ y $CDG$ puede definir $f(E)$ , $f(F)$ y $f(G)$ de la manera más obvia. Ahora sólo tienes que demostrar que $f(CEF)$ , $f(AGF)$ y $f(BEG)$ son líneas. Pero tiene que haber un encuentro entre las líneas $f(CE)$ y $f(AG)$ y no puede ser $f(B)$ o $f(D)$ , por lo que debe ser $f(F)$ .

Añadido: el apoyo a esto viene del hecho de que cualquier isomorfismo debería poder componerse con todos los automorfismos del plano de destino para hacer otro. Este isomorfismo tiene $7*6*4$ posibilidades ya que el primer, segundo y cuarto punto pueden ser elegidos al azar y $7*6*4=168$ es el número de automorfismos del plano de Fano.

Answer 2

Dejemos que $P$ sea un plano proyectivo sobre $7$ puntos. Fijar una ordenada $4$ -pareja de puntos distintos $(p_1,p_2,p_3,p_4)$ sur $P$ de tal manera que ninguna línea tenga incidencias con más de dos de ellas. Si $\pi=\{\{u,v\},\{w,t\}\}$ es una partición de $\{1,2,3,4\}$ en dos partes de tamaño $2$ , dejemos que $q_\pi$ sea el punto de intersección de la línea que une $p_u$ y $p_v$ con la línea que une $p_w$ y $p_t$ .

Esto proporciona un etiquetado $p_1$ , $p_2$ , $p_3$ , $p_4$ , $q_{\{\{1,2\},\{3,4\}\}}$ , $q_{\{\{1,3\},\{2,4\}\}}$ , $q_{\{\{1,4\},\{2,3\}\}}$ de la $7$ puntos.

Ahora muestra a partir del etiquetado solo puede reconstruir las líneas.

Esto demuestra la singularidad.

NB: Obsérvese que existen los $4$ -elemento set $\{p_1,p_2,p_3,p_4\}$ está determinada por su complemento, que es una línea. De ello se deduce que hay $7$ conjuntos posibles, uno por cada línea, y cada uno de estos conjuntos puede convertirse en un $4$ -tupla en $4!$ formas. El razonamiento anterior muestra entonces que el grupo de automorfismo de $P$ tiene orden $4!\cdot 7=168$ .