¿Por qué es de Klein Gordon ecuación de segundo orden en el tiempo?

Question

Me preguntaba si hay alguna manera de interpretar el hecho de que el Klein Gordon ecuación es una de 2º orden de la PDE en el tiempo. Quiero decir, normalmente se puede esperar que, tan pronto como la revisión inicial de la función de onda, entonces, la evolución de su sistema es fijo para todos los demás momentos en el tiempo. Esto es cierto para la de Schrödinger y la ecuación de Dirac, pero no para el de Klein Gordon ecuación. Hay alguna forma para ver por qué esto todavía es "correcto"?

Answer 1

Hay una gran diferencia entre Schrödinger/Dirac y ecuaciones de Klein-Gordon: el ex son complejas, mientras que el segundo es real. Pero si piensas un poco, también encontrarás una gran similitud.

Si usted representa a los números complejos de la forma $a+ib$ con las matrices de la forma $\pmatrix{a&b\\ b&a}$, then you can easily rewrite Schrödinger's equation like this (taking all dimensional constants equal to $1$):

$$\left\{\begin{align} \dot R&=\hat H_RI-\hat H_I I\\ -\dot I&=\hat H_RR+\hat H_I R, \end{align}\right.$$

donde $R$ $I$ son partes real e imaginaria de la función de onda $\psi=R+iI$, y Hamiltonianos $\hat H=\hat H_R+i\hat H_I$.

Ahora Klein-Gordon ecuación también puede escribirse en esta forma:

$$\left\{\begin{align} \dot\varphi&=A\\ \dot A&=\nabla^2\varphi-\mu^2\varphi. \end{align}\right.$$

En ambos casos tienes dos ecuaciones simultáneas de primer orden. En ambos casos, se tiene que especificar dos condiciones iniciales. Para Schrödinger, ecuación son reales $R$ e imaginarios $I$ partes de la función de onda, y de Klein-Gordon ecuación son$\varphi$$\dot\varphi$.

Answer 2

En la no-relativista teorías, que han $$\frac{\mathbf p^2}{2m}=E\a\frac{\hat{\mathbf p}^2}{2m}=\hat E$$ lo que nos da la normal $\nabla^2$ $\partial_t$ términos que encontramos en la ecuación de Schroedinger. Cuando se de cuenta de la relatividad de einstein, la de arriba de energía-impulso de la relación se convierte en $$\sqrt{\mathbf p^2c^2+m^2c^4}=E\etiqueta{1}$$ Cuando encienda aquellos a los operadores, se obtiene un poco flojo, la segunda derivada bajo la raíz cuadrada del término: $$\sqrt{(-i\manejadores\nabla)^2 c^2+m^2c^4}=i\manejadores\frac{\partial}{\partial t}$$ que es difícil trabajar con ellos. Así que en lugar de (1), se puede utilizar $$\mathbf p^2c^2+m^2c^4=E^2\etiqueta{2}$$ como el inicio. Esto conduce, naturalmente, a la de segundo orden en el tiempo.

Answer 3

El tiempo de evolución de la función de onda es siempre descrito por la ecuación de Schroedinger $$\dot{\psi} = -i \hat{H} \psi,$$ que es lineal en el tiempo. El de Klein-Gordon ecuación es una clásica relativista de la ecuación que describe la propagación de las perturbaciones en un campo de $\phi$ la realización de una masa $m$. Esta ecuación es de segundo orden en el tiempo, igual que la mayoría de las ecuaciones clásicas de movimiento se podría pensar (por ejemplo, la segunda ley de Newton). Al digitalizar un campo de la teoría, la función de onda es ahora un funcional de la materia, es decir, $\psi[\phi(x)]$ describe la probabilidad de la amplitud de un campo determinado de la configuración de tomar los valores de $\phi(x)$ en todo el espacio posible de tiempo de los puntos de $x$. Como siempre en la teoría cuántica, la dinámica de las variables se representan como no-desplazamientos de los operadores. En este caso, el campo de $\phi$ por lo tanto se convierte en un operador $\hat{\phi}$, y la de Hamilton $\hat{H}$ se expresa en términos de estos operadores de campo.