Serie de Taylor de $\frac{1}{1-\cos x}$

Question

El problema es, como el título sugiere, para encontrar el Poder de Expansión de la Serie de $\frac{1}{1- \cos x}$$x=c$.

Lo que he intentado:

• Directo de Cálculo: los Derivados obtener muy feo rápidamente, y no producir una buena fórmula que yo pueda reconocer como una "serie".
• Trató de encontrar la integral de $\frac{1}{1- \cos x}$, encontrando su serie y, a continuación, diferenciando para obtener la nueva serie.
• Tratado de la inversa de la anterior, la diferenciación y la búsqueda de ella en la serie, luego de la integración de (muy sucio).
• Entonces traté de algunos de sustitución de "trucos", como el uso de la serie de $\frac{1}{1-x}$ y, a continuación, conectar en la expansión de la serie de $\cos x$, pero eso es un doble de la suma que me costó producir nada útil de :$\displaystyle \sum_{k=0}^\infty\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}\right)^k$

Estoy literalmente en mi witts terminar con este problema. He pasado tal vez un día o dos tratando de averiguar, porque siento que estoy tan cerca - pero apenas falta algo. Yo no quiero la solución publicado - ahora es personal y tengo que averiguarlo, pero te agradecería mucho una pista en la dirección correcta, o para señalar un error que les puede estar pasando por alto.

Answer 1

Como @hjpotter92 sugieren, usted tiene $$\frac{1}{1-\cos(x)} = \frac{1}{2\sin^2(x/2)} = -\frac{\text{d}}{\text{d}x}(\cot(x/2)).$$ Ahora usted puede aprovechar la expansión de la serie de $$\cot(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n 2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}, \quad \forall 0<\left|x\right|<\pi.$$ Ahora, mediante la evaluación en $x/2$, la diferenciación de cada coeficiente y cambiando de signo, se obtiene $$\frac{1}{1-\cos(x)} =\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n+1} 2(2n-1)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-2}, \quad \forall 0<\left|x\right|<2\pi,$$ donde $B_n$ son los números de Bernoulli.

Answer 2

$\frac{1}{1-\cos(x)}=\frac{1+\cos(x)}{1-\cos^2(x)}=\frac{1+\cos(x)}{\sin^2(x)}=\csc^2(x)+\csc(x)\cot(x)$

Esto último puede ser fácilmente observado para ser la derivada de $-(\cot(x)+\csc(x))$. Ahora la pregunta es una cuestión de encontrar el poder de la serie de expansiones de $\cot(x)$$\csc(x)$, que son más fácil de encontrar, y de la diferenciación.