Búsqueda de x en una Olimpiada de ecuaciones simultáneas

Question

He estado practicando para una próxima intermedio olimpíadas de matemáticas y me encontré con la siguiente pregunta:

Deje $x$ $y$ ser enteros positivos que satisfacen las ecuaciones de $$\begin{cases} xy = 2048 \\ \frac{x}{y}-\frac{y}{x}= 7.875.\end{cases}$$ Encontrar x.

Mi enfoque

$$xy=2048$$

$$x=\frac{2048}{y}$$

$$\frac{\frac{2048}{y}}{y} - \frac{y}{\frac{2048}{y}} = 7.875$$

$$\frac{2048}{y^2} -\frac{y^2}{2048} = 7.875$$

$$2048^2 -y^4 =7.875\cdot 2048 y^2$$ Si comparamos la primera ecuación de (x/y) - (y/x) = 7.875 a la euqtion que nos acaba de encontrar ((sqrt. 2048)/y) - (y/(sqrt. 2048)) = 7.875 , x está en el mismo lugar así, x debe ser igual a la raíz cuadrada. de 2048.

¿Esta solución es correcta o hay alguna solución mejor?

Gracias :)

Answer 1

Considere la posibilidad de la segunda ecuación y definir $z=\frac xy$. Así, usted tiene $$z-\frac 1z=7.875$$ which is a quadratic in $z$; its roots are $z=-\frac 18$ (to be discarded) and $z=8$ (to keep). So $xy=2048$ and $\frac xy=8$.

Estoy seguro de que usted puede tomar a partir de aquí.

Answer 2

A la hora de resolver cuestionario de problemas (y en cierta medida los problemas del mundo real), siempre pregúntate a ti mismo si el problema es más fácil de lo que parece. En este caso, 2048 es fácilmente reconocible como una potencia de 2: $2^{11} = 2048$. Debido a $x$ $y$ son enteros, tienen que ser potencias de dos, así como la $xy = 2048$. Por otra parte, si $x = 2^n$,$y = 2^{11-n}$. Eso es sólo un par de combinaciones a probar (la ecuación es simétrica en $x$$y$, excepto para el signo del resultado), por lo que de inmediato obtener la solución de $x = 2^7, y = 2^4$.

En este caso, el problema especifica que x e y son enteros positivos, por lo que este enfoque fue garantizado para trabajar. Pero habría sido que vale la pena explorar, incluso si era sólo una corazonada.

Answer 3

La mejor manera de resolver las olimpíadas de matemáticas pregunta es la manera rápida - Una solución de largo es tan pad como ninguno, dadas las limitaciones de tiempo. Por lo tanto, yo recomendaría los siguientes:

En primer lugar, observa que el $2048 = 2^{11}$. Con la estipulación de que los $x$ $y$ son números enteros, esto significa que ambas deben ser enteros potencias de dos, y así se $\frac xy$$\frac yx$.

Siguiente, observe que $\frac yx$ debe ser menor que uno, ya que la $\frac xy$ es mayor que uno, ya que la diferencia es mayor que uno.

Por lo tanto, el único candidato para $\frac xy$ es 8. Por lo tanto, ya que no se garantiza que sea una solución, $\frac xy = 8 = 2^3$. Por lo tanto, $x = 2^7$$y = 2^4$.

Answer 4

SUGERENCIA...$\frac xy-\frac yx=7.875=8-\frac 18$

Por lo tanto, $\frac xy=8$ o $-\frac 18$

Answer 5

Claramente, se puede usar el enfoque ingenuo y resolver la ecuación cuadrática en $y$.

Como otros señalaron, dado que $x,y$ son enteros de inmediato le dice que ellos son potencias de dos.

Por lo tanto tenemos:

$x = 2^a, y = 2^b$

${x\over y} - {y\over x} = {63 \over 8} $

$\implies {{x^2 - y^2}\over 2^{11}}= {(2^6-1)\over {2^3}}$

$\implies {{2^{2a} - 2^{2b}}}= 2^8{(2^6-1)} = 2^{14} - 2^8$

En que punto de $a,b$ otoño a cabo por la inspección.

Moraleja de la historia: Cuando la ecuaciones tienen algún tipo de patrón, mantenerlo en el trabajo.

En este caso, las potencias de 2 son muy importantes. El "$xy = 2048$" es muy obvio. El "$7.875$" es lo suficientemente extraño como para animarme a pensar inmediatamente que va a ser la pena la escritura como la más "normal" $63\over 8$.