Frullani 's teorema en un contexto complejo.

Question

Es posible demostrar que $$\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-ix}-e^{-x}}{x}dx=-i\frac{\pi}{2}$$ and in this case the Frullani's theorem does not hold since, if we consider the function $f(x)=e^{-x}$, we should have $$\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}dx$$ where $a,b>0$. But if we apply this theorem, we get $$\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-ix}-e^{-x}}{x}dx=\log\left(\frac{1}{i}\right)=-i\frac{\pi}{2}$$ cual es el resultado correcto.

Preguntas: ¿es sólo una coincidencia? Es posible generalizar el teorema de los números complejos? Es un resultado conocido? Y si es así, donde puedo encontrar una prueba de ello?

Gracias.

Answer 1

El siguiente desarrollo proporciona una forma posible de avanzar a la generalización de la Frullani del Teorema de parámetros complejos.

Deje $a$ $b$ ser números complejos tales que $\arg(a)\ne \arg(\pm b)$ y deje $\epsilon$ $R$ ser números positivos.

En el plano complejo, vamos a $C$ ser cerrada contorno definido por los segmentos de línea (i) de$a\epsilon$$aR$, (ii) de$aR$$bR$, (iii) de$bR$$b\epsilon$, y (iv) de$b\epsilon$$a\epsilon$.

Deje $f$ ser analítico y en $C$ todos los $\epsilon$$R$. El uso de Cauchy de la Integral Teorema, podemos escribir

$$\begin{align} 0&=\oint_{C}\frac{f(z)}{z}\,dz\\\\ &=\int_\epsilon^R \frac{f(ax)-f(bx)}{x}\,dx\\\\ &+\int_0^1 \frac{f(aR+(b-a)Rt)}{a+(b-a)t}\,(b-a)\,dt\\\\ &-\int_0^1 \frac{f(a\epsilon+(b-a)\epsilon t)}{a+(b-a) t}\,(b-a)\,dt\tag1 \end{align}$$

Reordenación de las $(1)$ revela que

$$\begin{align} \int_\epsilon^R \frac{f(ax)-f(bx)}{x}\,dx&=\int_0^1 \frac{f(a\epsilon+(b-a)\epsilon t)}{a+(b-a) t}\,(b-a)\,dt\\\\ &-\int_0^1 \frac{f(aR+(b-a)Rt)}{a+(b-a)t}\,(b-a)\,dt \tag 2 \end{align}$$

Si $\lim_{R\to \infty}\int_0^1 \frac{f(aR+(b-a)Rt)}{a+(b-a)t}\,(b-a)\,dt=0$, entonces nos encontramos con que

$$\begin{align} \int_0^\infty \frac{f(ax)-f(bx)}{x}\,dx&=f(0)\int_0^1\frac{1}{a+(b-a)t}\,dt\\\\ &=f(0)\log(|b/a|)\\\\ &+if(0)\left(\arctan\left(\frac{\text{Re}(a\bar b)-|a|^2}{\text{Im}(a\bar b)}\right)-\arctan\left(\frac{|b|^2-\text{Re}(a\bar b)}{\text{Im}(a\bar b)}\right)\right) \tag 3 \end{align}$$

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Tenga en cuenta que la tangente de un término en un gran paréntesis en el lado derecho de la $(3)$ es

$$\begin{align} \frac{\text{Im}(a\bar b)}{\text{Re}(a\bar b)}&=\tan\left(\arctan\left(\frac{\text{Re}(a\bar b)-|a|^2}{\text{Im}(a\bar b)}\right)-\arctan\left(\frac{|b|^2-\text{Re}(a\bar b)}{\text{Im}(a\bar b)}\right)\right)\\\\ &=\tan\left(\arctan\left(\frac{\text{Im}(b)}{\text{Re}(b)}\right)-\arctan\left(\frac{\text{Im}(a)}{\text{Re}(a)}\right)\right) \end{align}$$

Answer 2

Creo que se puede considerar simplemente $$ f(\alpha) = \int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-\alpha x}-e^{-x}}{x}\,dx $$ como una función de variable compleja con la suposición de $\text{Re}(\alpha)>0$. Entonces: $$ f'(\alpha) = -\int_{0}^{+\infty}e^{-\alpha x}\,dx =-\frac{1}{\alpha} $$ y $f(1)=0$, por lo que

$$ f(\alpha) = -\int_{1}^{\alpha}\frac{dz}{z}.$$

Desde $\text{Re}(\alpha)>0$, el último complejo integral está bien definido, y usted puede definir $\text{Re}\,f(\alpha)$ $\left\{\text{Re}(z)\geq 0\right\}\setminus 2\pi i \mathbb{Z}$ por la continuación analítica, ya que $\text{Re}\log\alpha = \log\|\alpha\|$. También tenemos $f(\alpha)=f(\bar{\alpha})$ por el Schwarz' principio de reflejo y $$ f(\alpha)=-f\left(\frac{1}{\alpha}\right) $$ por la obvia sustitución. Otra posibilidad es dada por el conocido lema $$ \int_{0}^{+\infty}f(x)\frac{dx}{x} = \int_{0}^{+\infty}\mathcal{L}(f)(s)\,ds, $$ pero tenemos que tener cuidado con eso, ya que en nuestro caso estamos considerando la transformada de Laplace en el límite de convergencia de dominio.

El Cantarini-Frullani del teorema acaba de nacer :D

Answer 3

Tenga en cuenta que a partir de Cauchy de la Integral Teorema de

$$\oint_C \frac{e^{-iz}}{z}\,dz=0 \tag 1$$

donde $C$ es el cierre de contorno compuesto de (i) el segmento de la línea de$\epsilon>0$$R$, (ii) el cuarto de círculo de radio de $R$ centrada en el origen de$R$$-iR$, (iii) el segmento de la línea de$-iR$$-i\epsilon$, y (iv) el cuarto de círculo de radio de $\epsilon$ centrada en el origen de $-i\epsilon$ $\epsilon$.

Podemos escribir $(2)$

$$\begin{align}\oint_C \frac{e^{-iz}}{z}\,dz&=\int_\epsilon^R \frac{e^{-ix}}{x}\,dx+\int_R^\epsilon \frac{e^{-y}}{-iy}\,(-i)\,dy\\\\ &+\int_0^{-\pi/2}\frac{e^{iRe^{i\phi}}}{Re^{i\phi}}\,iRe^{i\phi}\,d\phi\\\\ &+\int_{-\pi/2}^0\frac{e^{i\epsilon e^{i\phi}}}{\epsilon e^{i\phi}}\,i\epsilon e^{i\phi}\,d\phi\tag 2 \end{align}$$

Como $R\to \infty$, la tercera de la integral en el lado derecho de la $(2)$ se aproxima a cero. Como $\epsilon \to 0$, el cuarto de la integral en el lado derecho de la $(2)$ enfoques $i\pi/2$. Así, vemos que

$$\int_0^\infty \frac{e^{-ix}-e^{-x}}{x}\,dx=-i\pi/2 \tag 3$$

como iba a ser mostrado!