Un ejemplo para demostrar la necesidad de que realmente débil n-categorías es que un débil 3-categoría única de 0 - y 1-las células equivale a la misma cosa como un trenzado de categoría monoidal (por un Eckmann-Hilton argumento), pero en caso de que se utilice un estricto 3-categoría de lugar, esto se convertiría automáticamente en un fortiori simétrica. En el intento de obtener una mejor intuición para "la noción de derecho" de la debilidad de las categorías (esto es todavía inestable, ¿verdad?), Me preguntaba si alguien me podría dar una buena intuición de lo que paso en el argumento de simetría en el estricto caso queremos fallar en el caso débil y por qué. [Supongo que esto equivale a más en general dar una buena intuición para lo de mayores dimensiones de la coherencia isomorphisms debemos abstenernos exigentes que existen en la definición de la debilidad de las categorías, y por qué, pero este ejemplo parece, en particular, como un útil ilustrativos de introducción contexto]
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Aquí es un buen pictórica prueba de la Eckmann-Hilton argumento en una categoría superior (realizada por Eugenia Cheng). Una manera de leer esto es como una prueba de que en un débil 2-categoría con un 0-célula y uno de 1 célula, la composición de las 2-las células es conmutativa: en este caso cada diagrama es igual para los dos diagramas junto a ella, ya sea por una unidad de la ley o por un intercambio de ley.
Alternativamente, se puede leer como una prueba de que en un débil 3-categoría única de 0 y 1 de las células, la composición en 2-las células se trenzan. En este caso cada diagrama es isomorfo a los que estaban junto a ella, ya sea a través de una unidad de isomorfismo o un intercambio de isomorfismo. El trenzado es el compuesto isomorfismo a lo largo de la mitad superior (dicen), y el hecho de que no se trata de una simetría surge debido a que el compuesto todo el camino alrededor no tiene que ser la identidad.
Por supuesto, si de intercambio y unidad de isomorphisms se identidades, el trenzado iba a ser una simetría. Es conocido en la dimensión 3, que es realmente lo suficientemente bueno (es decir, cosas que no se deterioran y se vuelven demasiado estricto) si bien la unidad o el intercambio de la ley es débil, y el otro es estricta. Si el intercambio es débil, pero la unidad es estricta, obtenemos Gris-categorías como en el original de Gordon-Poder-de la Calle de papel en tricategories, mientras que si el intercambio es débil, pero la unidad es estricto, este es el tema de los Simpson de la conjetura, como lo menciona David (para n=3 el caso, ver aquí). Tenga en cuenta que la asociatividad nunca entra en la imagen, y al menos en la dimensión 3 también se puede hacer estricta.
No hay realmente un "paso uno" que queremos fallar. En un "débil" de mayor categoría, todos de la asociatividad, la unidad y el intercambio de las leyes se mantenga sólo débilmente. Lo que ocurre es que tales totalmente débil categorías pueden ser "semi-strictified" para hacer algunos, pero no (en general) de todo, de estas leyes se mantenga estrictamente, siendo equivalente a la categoría original en un buen sentido. Tal semistrictification a menudo puede ser técnicamente útil, pero yo no lo consideramos como realidad de fundamental importancia.
Con respecto a la "intuición para lo de mayores dimensiones de la coherencia isomorphisms debemos abstenernos exigentes que existen," creo que es engañoso para ver este ejemplo en que forma. Realmente no hay una coherencia isomorfismo que estamos abstenerse de exigir a existir---en un débil 3-categoría, es todavía el caso de que todos coherencia isomorphisms existen y todos los "formalmente se puede describir" diagramas conmutan. Más bien, lo que pasa es que accidentalmente, si nos toca considerando las células cuyo origen y destino son tanto las identidades, entonces hay algunas estructural isomorphisms que nos ocurre a ser capaz de componer en un modo de "imprevistos" por la teoría general de la debilidad de la n-categorías. Por lo tanto, en este caso en particular, la afirmación de que la teoría general de que "todas las diagramas conmutan" no se aplica, ya que el diagrama estamos viendo es sólo bien definido por accidente. Esta es una especie de vaga, pero puede ser preciso por la teoría de la contráctiles globular operads, donde es cierto que "todas las diagramas de viajar" en el formal, operadic, el sentido, pero en particular de álgebra a través de un operad, no puede ser accidental "composites", que no conmutan. Ver también esta pregunta.
Un pensamiento a lo largo de estas líneas es de Simpson conjetura (demostrado por $n$-categorías de la a a $n=3$). Básicamente, esto indica que un débil $n$-categoría es equivalente a una donde todo es de estricta excepción de las identidades. Dado que uno de los supuestos en Eckmann-Hilton es que no es una unidad para ambas multiplicaciones, perdemos el resultado de que el producto es abelian/simétrica.
Otro enfoque es a lo largo de las líneas de debilitamiento de intercambio (otra suposición de Eckman-Hilton, a saber, que los productos conmuta con cada uno de los otros), que es lo que ocurre en Gris-categorías - categorías enriqueció a lo largo de 2Cat con el Gris producto tensor (como opuesto al producto cartesiano). Gris-categorías se conoce a un modelo de todo lo débil de 3 categorías. Crans ha tomado un paso más y construido un análogo de producto tensor en GrayCat, pero no estoy seguro de si enriqueciendo el uso de este producto tensor da débiles de 4 categorías.
