finito surjective l.c.yo morfismos es plana

Question

Deje $X,Y$ ser localmente Noetherian esquemas. Deje $f:X\to Y$ ser finito, surjective, y localmente completar intersección de morfismos, es decir, localmente puede ser descompuesto como regular inmersión seguido por un suave morfismos. Recordar: una inmersión $X\to Y$ se llama regular de inmersión en un punto de $x$ si $\mathcal{O}_{X,x}$ es isomorfo como $\mathcal{O}_{Y,y}$-módulo de a $\mathcal{O}_{Y,y}$ modulo de un ideal, $I$ generado por una secuencia regular de los elementos de $\mathcal{O}_{Y,y}$.

Pregunta: demostrar que $f$ plano. En particular, $f$ será simultáneamente abierto y cerrado de morfismos.

Answer 1

Trabajo a nivel local, suponga que $f: R\to S$ es un local homomorphism. Deje $\operatorname{cmd}(R) =\operatorname{dim} R-\operatorname{depth} R$ (este es el llamado de Cohen-Macaulay defecto de $R$). Reclamo: $\operatorname{cmd}$ es preservada por l.c.yo mapas (fácil, básicamente porque tanto la profundidad y dimensión de la gota por uno cuando va a matar a un elemento regular).

Ahora desde el mapa de $\phi: \operatorname{Spec}(S) \to \operatorname{Spec} (R)$ es finito y surjective, $\operatorname{dim} R= \operatorname{dim} S$, lo que se combina con la última pretensión de mostrar que $\operatorname{depth} R = \operatorname{depth} S$. Pero desde l.c.yo también implica finito dimensión plana, tenemos $\operatorname{depth} R -\operatorname{depth} S = pd_RS$, lo $S$ es plano sobre a $R$.