¿Por qué casi todos los de matemáticas de ser formalizado por los conjuntos?

Question

no deben existe una razón de por qué la idea de "recogida" es tan poderoso que puede formalizar casi todas las matemáticas.

subquestion: ¿hay alguna que no puede ser formalizada a través de esta perspectiva? si es así, ¿qué propiedades hacen de ellos informalizable?

Answer 1

Casi todas las matemáticas puede ser formalizada sin sets. Por ejemplo, de segundo orden, la aritmética es lo suficientemente bueno para la mayoría de los análisis y el álgebra. En Particular teoremas son generalmente comprobable en muy débil sistemas formales, mucho más débil que la teoría de conjuntos. (Por ejemplo, a pesar de que Andrew Wiles la prueba del teorema de Fermat utiliza la fantasía de la teoría de conjuntos se sospecha que puede ser transformada en una prueba de que sólo las necesidades de la aritmética, y ya sabemos que sólo un poco de el conjunto teórico universo es necesaria).

Cuando las matemáticas es en realidad conjunto formal de la teoría casi nunca se utiliza. En cambio, las personas que formalizar las matemáticas el uso de la prueba de los asistentes, tales como Agda, Coq, Isabelle, HOL, que se basan en el tipo de teoría. Sin duda hay similitudes entre series y tipos, pero los tipos son más generales que los conjuntos.

No tengo dudas de que es posible formalizar la matemática en increíblemente inusual que los sistemas formales, siempre y cuando sean lo suficientemente expresivo. Así que, para responder a su pregunta: matemáticas puede ser formalizada mediante conjuntos de porque puede ser formalizado en cualquier número de sistemas formales y no hay nada especial acerca de conjuntos en este sentido. Es sólo que los seres humanos inventaron los conjuntos y el uso de ellos.

Es un poco como preguntándose por qué todo el mundo de las unidades de automóviles que funcionan con combustibles fósiles. Bien, sin duda hay muchas otras maneras de moverse por el planeta, pero este es el que actualmente tenemos, esperemos que no por mucho tiempo.

Podemos especular por qué los seres humanos inventaron conjuntos y tipos (que son similares a los conjuntos para los fines de esta discusión). Esto no es algo que las matemáticas pueden responder por sí mismo. Necesitamos ver cómo las mentes de la gente de trabajo, de cómo nuestro lenguaje está estructurado, etc. Sospecho que vamos a descubrir que hay algo muy natural para nosotros pensar acerca de "las colecciones de las cosas que son iguales". Por supuesto, los elementos de un conjunto no necesitan ser iguales y puede ser bastante arbitrario. Así que hay algunas sorprendentes conjuntos de ahí que no sabemos cómo manejar muy bien.