¿Por qué son equivalentes estas dos definiciones de las simetrías en el lagrangiano?

Question

He escuchado las siguientes dos definiciones para una simetría del Lagrangiano:

1. Si bajo una transformación de coordenadas la forma del Lagrangiano permanece inalterada, entonces existe una simetría.

2. Si $\delta \mathcal{L}=\partial_\mu F^\mu$ , donde $\mathcal{L}$ es la densidad lagrangiana, entonces hay una simetría.

¿Son equivalentes estas dos definiciones? Si es así, ¿cómo implica la segunda a la primera?

Answer 1

I) Interpretamos que la pregunta de la OP (v2) se refiere esencialmente a lo siguiente.

¿Qué sucede?

L1) si la densidad lagrangiana $\delta {\cal L}= 0$ no se transforma?

L2) si la densidad lagrangiana $\delta {\cal L}=\varepsilon~ d_{\mu} f^{\mu}$ se transforma con una divergencia total espacio-temporal?

Aquí $\delta$ denota una transformación infinitesimal $$\tag{A} \delta\phi^{\alpha}~=~\varepsilon~ (\ldots), \qquad \delta x^{\mu}~=~\varepsilon~ (\ldots),$$ de los campos $\phi^{\alpha}$ y las coordenadas del espacio-tiempo $x^{\mu}$ . Además, $\varepsilon$ es un parámetro infinitesimal, y la elipsis $\ldots$ es la abreviatura de cualquier transformación que consideremos.

En primer lugar, hay que tener en cuenta que la terminología difiere de un autor a otro. Algunos autores (véase, por ejemplo, la Ref. 1 y este Phys.SE post) llamar a la transformación $\delta$ para un simetría y un cuasi-simetría de la densidad lagrangiana ${\cal L}$ en el caso L1 y L2, respectivamente. Otros autores (véase, por ejemplo, la ref. 2) hablan de un simetría estricta y un simetría, respectivamente. Mientras que otros autores se limitan a llamar $\delta$ para un simetría en ambos casos.

Los dos casos L1 y L2 no son equivalentes, pero Teorema de Noether se mantiene en ambos casos: Existe en ambos casos una ley de conservación local de la forma

$$\tag{B} d_{\mu}J^{\mu}~\approx~ 0.$$

[Aquí el $\approx$ significa la igualdad en el módulo eom]. Sin embargo, en el caso L2, la corriente de Noether desnuda (es decir, la fórmula estándar mencionada en Wikipedia ) debe mejorarse con (menos) $f^{\mu}$ para obtener la corriente de Noether completa correcta $J^{\mu}$ en la ecuación (B).

II) Finalmente, como señala innisfree, en lugar de la densidad lagrangiana ${\cal L}$ también se puede considerar la acción

$$\tag{C} S~=~\int_{R}d^4x~ {\cal L},$$

donde $R$ denota una región espaciotemporal. A menudo (pero no siempre) la región $R$ se supone que se transforma de acuerdo con la transformación horizontal $\delta x^{\mu}$ .

Hay de nuevo dos casos:

S1) La acción $\delta S =0$ no se transforma.

S2) La acción $\delta S =\varepsilon \int_{\partial R} d^{3}x~f $ se transforma con un término límite.

Por analogía con la Sección I, la transformación $\delta$ se denomina, por definición, a diversas variaciones de la frase que dependen del autor simetría de la acción $S$ en los dos casos S1 y S2. El teorema de Noether se cumple de nuevo en ambos casos.

Sin embargo, hay que tener en cuenta que los casos L1 y L2 no se corresponden necesariamente con los casos S1 y S2, respectivamente. Por ejemplo, podría ocurrir que una cuasi-simetría (L2) de la densidad lagrangiana $\cal L$ para determinadas elecciones de región $R$ se convierte en una simetría estricta (S1) de la acción $S$ . Para un ejemplo de este fenómeno, véase, por ejemplo, mi respuesta de Phys.SE aquí .

Referencias:

1. J.V. Jose y E.J. Saletan, Dinámica Clásica: Un enfoque contemporáneo, p. 565.

2. P.J. Olver, Aplicaciones de los grupos de Lie a las ecuaciones diferenciales, 1993.

Answer 2

Las definiciones son equivalentes porque la acción es invariante en cada caso, es decir, $\delta S = 0$ .

Tomemos el caso 2, en el que $\delta \mathcal{L} = \partial^\mu F_\mu$ . Por el teorema de Stokes, la divergencia total resulta en una integral de superficie en el infinito, $$ \delta S = \int d^4x\delta\mathcal{L} = \int d^4 x \partial^\mu F_\mu= \int d\Sigma^\mu F_\mu = 0 \text{ if $ F_\mu \ ~ a 0 $ sufficiently rapidly at the boundary}. $$ Suponemos que $F$ desaparece con suficiente rapidez, de forma que la integral, y por tanto la variación de la acción, es cero.

El Lagrangiano puede cambiar por una divergencia, porque la acción no cambia. Recordemos que es la acción la que aparece en la integral de trayectoria en la QFT (¡y en el principio de mínima acción en la CM!) y no el lagrangiano. Mientras la acción sea invariante, tenemos una simetría. (Estrictamente hablando, la medida en la integral de trayectoria también debe ser invariante - véase la ruptura anómala de la simetría).