El límite de $ \frac { \cos x } {x e^{x}}- \frac {1}{x}$ como $x \to 0$

Question

Necesito evaluar $$ \lim_ {x \to 0} ( \frac { \cos x } {x e^{x}}- \frac {1}{x})$$

No usando ni la regla de L'Hôspitale, ni la serie de Taylor...

Mi intento: $$ \frac { \cos x}{xe^x}- \frac {1}{x}= \frac { \cos x - e^x}{xe^x}=e^{ \ln { \frac { \cos x -e^x}{xe^x}}}=e^{ \ln ({ \cos x -e^x})- \ln {xe^x}}$$

pero parece que no resolverá el problema.

¿Alguna sugerencia?

Gracias

Answer 1

El primer paso que haces es correcto; luego puedes notar que $e^x$ en el denominador no puede dar ningún problema, así que quieres calcular $$ \lim_ {x \to0 } \frac { \cos x-e^x}{x} = \lim_ {x \to0 } \frac { \cos x-1+1-e^x}{x} = \lim_ {x \to0 } \frac { \cos x-1}{x}+ \lim_ {x \to0 } \frac {1-e^x}{x} $$ siempre que estos dos límites existan (lo hacen).

Answer 2

Cuando se reduce al mismo denominador, se tiene un error ya que " $x$ "desaparece del denominador.

Ahora, si usas a Taylor por ahí $x=0$ tu expresión escribe $-1 + x^2/3 - x^3/6$ y quieres el límite en $x=0$ .

Answer 3

Si usas a Taylor, tienes $ \cos x -1 \approx - \frac {x^2}{2} +o(x^3)$ y $e^{x}-1 \approx x +o(x^2)$ Así que $$ \frac { \cos x -e^{x}}{xe^{x}} = \frac { \cos x -1}{x^2} \frac {x}{e^{x}} - \frac {e^{x} -1}{x} \frac {1}{e^{x}} \approx - \frac {1}{2} \frac {x}{e^{x}} - \frac {1}{e^{x}} \overset {x \rightarrow 0}{ \longrightarrow } -1$$

Answer 4

Mira aquí,

Puedes escribir la función después de hacer el LCM y tendrás una función que tiene una forma (0/0)... Así que, puedes aplicar fácilmente la regla de L'Hospital.... y aplicar la regla de L'Hospital por una vez y ver la magia... :-)

Esto será: ( Cos x - e^x )/( xe^x ) ---------------(a),y después de aplicar la regla de L'Hospital tendremos

 ( - sin x - e^x ) / ( xe^x + e^x ) ------- just apply the differentiation on the numerator and denominator of the fraction for the exprression------(a)

Y puedes ver que ahora no tenemos la forma (0/0) y podemos calcular fácilmente el límite poniendo el valor límite de x tiende a 0. Y tendrás la respuesta como ( - 1).

Espero que la respuesta te ayude un poco. La mejor de las suertes.