Teoría de la medida preguntas

Question

yo. Si $1 < p < \infty$ $E = \{f_a, a \in A\}$ conjunto de funciones medibles de $\mathbb{R}$$\sup_{a \in A} ||f_a||_p < \infty$, quiero mostrar que para $ 0 < q < p$, $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \sup \limits_{a \in A} \int_{|f_a| > x} |f_a|^q = 0$.

ii. Para delimitada Borel $f$ $\mathbb{R}$ donde $\int fg = 0$ todos los $g \in C_c(\mathbb{R})$, quiero mostrarles $ f=0$.e.

iii. Quiero mostrar que la $\forall \epsilon\gt0, \exists \delta\gt0$ s.t. $m(E \subseteq \mathbb{R}) < \delta \Rightarrow \int_E |f_a|^q < \epsilon$

Mis pensamientos eran para un uso de Hölder de la desigualdad en el uso de Borel-Cantelli, pero que no me lleve a nada. Para los dos, parece que, obviamente, si $g \in C_c(\mathbb{R})$, entonces el conjunto de discontinuidades son contables para, a continuación, $f$ debe ser cero.e.

Answer 1

1. Tenga en cuenta que $$ \begin{align} \int_{|f_a|\gt x}|f_a(t)|^q\,\mathrm{d}t &\le\frac1{x^{p-q}}\int_{|f_a|\gt x}|f_a(t)|^p\,\mathrm{d}t\\ &\le\frac1{x^{p-q}}\int|f_a(t)|^p\,\mathrm{d}t\\ &\le\frac1{x^{p-q}}\|f_a\|_p^p\\ \sup_{a\in A}\int_{|f_a|\gt x}|f_a(t)|^q\,\mathrm{d}t&\le\frac1{x^{p-q}}\left(\sup_{a\in A}\|f_a\|_p\right)^p \end{align} $$ Ahora toma el límite de $x\to\infty$.

2. Dado $\epsilon>0$$a<b\in\mathbb{R}$, encontramos un $g\in C_c(\mathbb{R})$, de modo que $\|f-g\|_{L^2[a,b]}<\epsilon$. Entonces $$ \begin{align} \|f\|_{L^2[a,b]}^2+\|g\|_{L^2[a,b]}^2 &=\int_a^b\left(f(x)^2+g(x)^2\right)\,\mathrm{d}x\\ &=\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)^2\,\mathrm{d}x\\ &\le\epsilon^2 \end{align} $$ Por lo tanto, $\|f\|_{L^2[a,b]}\le\epsilon$ y desde $\epsilon$ fue arbitrario, tenemos $$ \|f\|_{L^2[a,b]}=0 $$

3. Vamos $$ E_\lambda=\{x:|f(x)|\gt\lambda\} $$ Entonces Dominado por la Convergencia $$ \lim_{\lambda\to\infty}\int_{E_\lambda}|f(x)|^q\,\mathrm{d}x=0 $$ Hay dos posibilidades, o bien hay algo de $\Lambda$, de modo que $\lambda\gt\Lambda\Rightarrow m(E_\lambda)=0$ o $\forall\lambda>0,m(E_\lambda)\gt0$. Si $\Lambda$ existe, $\delta\lt\epsilon/\Lambda$ desde $f$ es esencialmente limitado. De lo contrario, elija un $\lambda_\epsilon$ lo suficientemente grande, así que si $\lambda\ge\lambda_\epsilon$, $$ \int_{E_\lambda}|f(x)|^q\,\mathrm{d}x\lt\epsilon $$ Tal $\lambda_\epsilon$ está garantizada por el límite anterior. Elija $\delta=m\left(E_{\large\lambda_\epsilon}\right)\gt0$. La integración a través de cualquier conjunto de medida $\delta$ será en la mayoría de la integral sobre la $E_{\large\lambda_\epsilon}$.

Answer 2

La respuesta a la primera pregunta ha sido ya dada. Para el segundo, primera aproximación de pointwise la función característica de un conjunto compacto por funciones continuas con soporte compacto.

Como podemos elegir la secuencia monótona, podemos mostrar que para cada compacto $K$, $$\int f\chi_Kd\lambda=0.$$ Por la regularidad de la medida de Lebesgue, podemos deducir que $\int f\chi_Sd\lambda=0$ para cada conjunto medible $S$ finito de medida. A la conclusión.