Triángulo equilátero problema geométrico

Question

Tengo un triángulo Equilátero con lado desconocido $a$. Lo siguiente que hago es hacer un punto al azar en el interior del triángulo $P$. La distancia $|AP|=3$ cm, $|BP|=4$ cm, $|CP|=5$ cm.

Es el triángulo rojo en la imagen. El ejercicio es calcular el área de un triángulo Equilátero (sin el uso de la ley del coseno y de la ley de seno, sólo con simples y elementales de la argumentación).

El primero que yo hice fue para reflejar el punto de $A$ a lo largo del lado opuesto $a$, por lo tanto llego $D$. Después me construye otro triángulo Equilátero $\triangle PP_1C$.

Ahora es posible decir algo acerca de los ángulos, es decir, que $\angle ABD=120^{\circ}$, $\angle PBP_1=90^{\circ} \implies \angle APB=150^{\circ}$ y $\alpha+\beta=90^{\circ}$

Ahora no tengo más ideas. Podría usted ayudarme a terminar la prueba para obtener $a$ y por lo tanto el área de la $\triangle ABC$. Si usted tiene algunas ideas alternativas para obtener el área sin que se refleje el punto de $A$ sería interesante.

Answer 1

Bueno, ya que las distancias forman una terna Pitagórica la elección no fue que al azar. Usted está en el camino correcto y que la reflexión es una gran idea, pero es necesario dar un paso más.

Compruebe que en el (imperfecto) dibujo de abajo $\triangle RBM$, $\triangle AMQ$, $\triangle MPC$ son equiláteros, ya que cada uno de ellos tiene dos lados iguales, adjuntando los ángulos de $\frac{\pi}{3}$. Además, $S_{\triangle ARM}=S_{\triangle QMC}=S_{\triangle MBP}$ cada uno con lados de longitud 3,4,5 respectivamente (a veces conocido como el triángulo Egipcio como los antiguos Egipcios se dice que ha conocido el método de construcción de un ángulo recto, marcando 12 de la igualdad de los segmentos de la cuerda y atar en los polos en forma de triangulo; todo esto mucho antes de que el de Pitágoras teorema fue concebido)

Por construcción el área de la totalidad del polígono $ARBPCQ$ $2S_{\triangle ABC}$

En el otro lado

$$ARBPCQ= S_{\triangle AMQ}+S_{\triangle MPC}+S_{\triangle RBM}+3S_{\triangle ARM}\\=\frac{3^2\sqrt{3}}{4}+\frac{4^2\sqrt{3}}{4}+\frac{5^2\sqrt{3}}{4}+3\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4 = 18+\frac{25}{2}\sqrt{3}$$

Por lo tanto

$$S_{\triangle ABC}= 9+\frac{25\sqrt{3}}{4}$$

Answer 2

Puede resolver esto sin ningún tipo de trig si se consideran las propiedades de un triángulo equilátero, y el hecho de que usted ha creado seis triángulos rectángulos en la que sabe que la longitud de la hipotenusa y la relación:

$a+b = c+d = e+f$

$a^2 + g^2 = |AP|^2$

$b^2 + g^2 = |BP|^2$

$c^2 + h^2 = |BP|^2$

$d^2 + h^2 = |CP|^2$

$e^2 + i^2 = |CP|^2$

$f^2 + i^2 = |AP|^2$

Entonces:

$a+b = c+d = e+f$

$a^2 + g^2 = 9$

$b^2 + g^2 = 16$

$c^2 + h^2 = 16$

$d^2 + h^2 = 25$

$e^2 + i^2 = 25$

$f^2 + i^2 = 9$

Entonces:

$a+b = c+d = e+f = s$

$b^2 - a^2 = 7$

$d^2 - c^2 = 9$

$e^2 - f^2 = 16$

Entonces:

$b^2 - (s-b)^2 - 7 = s^2 + 2sb - 7 = 0$

$d^2 - (s-d)^2 - 9 = s^2 + 2sd - 9 = 0$

$e^2 - (s-e)^2 - 16 = s^2 + 2se - 16 = 0$

Answer 3

Una Solución genérica para cualquier longitud d1, d2, d3: las distancias d1, d2 y d3 son de los puntos C, B y a, respectivamente, a un cuarto de punto E en el interior del triángulo equilátero ABC.

En primer lugar, hemos de girar a la figura de ABC y el Correo acerca de C a través de 60 grados, resultando en un triángulo equilátero BHC con G congruente con ABC E. En particular, vemos que la CE está de gira a través de 60 grados a CG, que muestra que el CEG es un triángulo equilátero, de modo que, por ejemplo, = CE = CG = d1. Este triángulo que ahora se refieren como EQUI(d1): equilátero triángulo con el lado d1:

Ahora podemos sacar algunas conclusiones simples:

• El punto E se divide el triángulo original en tres triángulos, que me han hecho en una roja AEC, una amarilla AEB, y un blanco uno de BEC.

• El área de la blanco y de rojo los triángulos juntos es el mismo la zona de INICIO y CEG juntos.

• INICIO es el triángulo con lados iguales a la d1, d2, d3, que yo a partir de ahora se refieren a dicho triángulo en forma de T.

• Llegamos a la conclusión de que el blanco y el rojo los triángulos juntos tienen un área igual a [T] + [EQUI(d1)] (donde [x] es el área de x).

Con un razonamiento similar, podemos sacar conclusiones similares acerca de la áreas de la blanca y amarilla triángulo juntos, y sobre las áreas de color rojo y amarillo triángulo juntos.

La adición de las áreas de blanco+rojo, blanco+amarillo, y rojo+amarillo da 2*[ABC]. También da 3*[T]+[EQUI(d1)]+[EQUI(d2)]+[EQUI(d3)].

Así, si leemos en áreas tenemos:

[ABC] = 1.5*[T]+ ([EQUI(d1)]+[EQUI(d2)]+[EQUI(d3)])/2.

También podemos encontrar el lado de la longitud mediante el uso de Área de un triángulo equilátero => [ABC] = sqrt(3)/4 * a^2

√3/4 * a^2 = 1.5*[T]+ ([EQUI(d1)]+[EQUI(d2)]+[EQUI(d3)])/2.

Lo que da a = √((4/√3)(1.5[T]+ ([EQUI(d1)]+[EQUI(d2)]+[EQUI(d3)])/2))