Tengo un triángulo Equilátero con lado desconocido $a$. Lo siguiente que hago es hacer un punto al azar en el interior del triángulo $P$. La distancia $|AP|=3$ cm, $|BP|=4$ cm, $|CP|=5$ cm.
Es el triángulo rojo en la imagen. El ejercicio es calcular el área de un triángulo Equilátero (sin el uso de la ley del coseno y de la ley de seno, sólo con simples y elementales de la argumentación).
El primero que yo hice fue para reflejar el punto de $A$ a lo largo del lado opuesto $a$, por lo tanto llego $D$. Después me construye otro triángulo Equilátero $\triangle PP_1C$.
Ahora es posible decir algo acerca de los ángulos, es decir, que $\angle ABD=120^{\circ}$, $\angle PBP_1=90^{\circ} \implies \angle APB=150^{\circ}$ y $\alpha+\beta=90^{\circ}$
Ahora no tengo más ideas. Podría usted ayudarme a terminar la prueba para obtener $a$ y por lo tanto el área de la $\triangle ABC$. Si usted tiene algunas ideas alternativas para obtener el área sin que se refleje el punto de $A$ sería interesante.