Qué fuerte de la ley de los grandes números de mantener una media de este triangular de la matriz que contiene "casi me.yo.d." secuencias?

Question

Si una secuencia de $n$ i.yo.d. positivo variables aleatorias $X_1,\ldots,X_n$ tiene la expectativa de $\mathbb{E}[X_1]=\mu<\infty$, entonces se sabe que el fuerte de la ley de los grandes números (SLLN) se tiene: $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\xrightarrow{a.s.}\mu$, aun cuando el segundo momento no es finito.

Me pregunto si se mantiene cuando la secuencia contiene un elemento con decir que el aumento en el $n$ (pero no demasiado rápido). De hecho, estoy haciendo una pregunta sobre un arreglo triangular.

En mi caso particular, tengo un arreglo triangular $\{\{X_{1n},\ldots,X_{(n-1)n}, X_{nn}$ donde $X_{in}>0$ e independiente a través de todas las filas y columnas; $X_{1n},\ldots,X_{(n-1)n}$ son idénticas a $\mathbb{E}[X_{1n}]=1$ $\mathbb{E}[X_{1n}^2]=e^{2(\log n)^{a}}$ donde $0<a<1$; y $\mathbb{E}[X_{nn}]=e^{(\log n)^{a}}$$\mathbb{E}[X_{nn}^2]=e^{4(\log n)^{a}}$. Desde $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{e^{(\log n)^{a}}}{n}=0$, la contribución de $X_{nn}$ a la media de $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_{in}$ es pequeña, y, por lo tanto, tal vez la SLLN sostiene "fila". Puedo utilizar la desigualdad de Chebyshev para demostrar a los débiles ley de los grandes números para este caso. Sin embargo, mi herramienta para probar casi seguro de convergencia, el Borel-Cantelli lema, parece que no funciona aquí a todos (aunque yo no podría estar utilizando correctamente). Alguien puede ayudarme?

Modificaciones menores a los de arriba: Por las respuestas y comentarios, he corregido algunos errores tipográficos, así como la notación de las variables aleatorias, y aclaró que lo que estoy tratando es, de hecho, un arreglo triangular.

Principales editar

Me pidieron en los comentarios/respuestas acerca de donde esta pregunta vino y obtener más información acerca de $X_i$'s. Aquí se describe la configuración de la que surgió el problema.

Tengo una máquina que tarda $n$ como entrada. Como una salida que me da una secuencia de $n$ variables aleatorias $X_{1n},\ldots,X_{nn}$, donde:

$$X_{in}=\exp\left[\frac{f(n)\Gamma_{in}}{1+f(n)}-k\left(\frac{f(n)}{1+f(n)}+\left[\frac{f(n)}{1+f(n)}\right]^2\right)\right], \text{ si }i\neq S\\ X_{in}=\exp\left[f(n)\Gamma_i-k\left(\frac{f(n)}{1+f(n)}+\left[\frac{f(n)}{1+f(n)}\right]^2\right)\right], \text{ si }i=S\\$$ donde $k=n^c$, $0<c<1$, la secuencia de $\Gamma_{1n},\ldots,\Gamma_{nn}$ contiene $n$ i.yo.d. chi-cuadrado de las variables aleatorias, cada una con $k$ grados de libertad (nota, el número de grados de libertad de cada una de las $\Gamma_{in}$ depende de $n$, sin embargo, la independencia mantiene a través de las filas), $f(n)=\sqrt{\frac{(\log n)^{a}}{k}}$, e $1\leq S \leq n$ es desconocido. Estoy interesado en el promedio de $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_{in}$ y, específicamente gustaría mostrar que, a pesar de que yo no sé lo $S$ es, $X_{Sn}$ no tiene impacto en el promedio de por lo suficientemente grande de entrada de $n$. La declaración que yo quiero es este: para cualquier $\epsilon>0$, con una probabilidad de uno existe $n_0$ tal que para todo $n\geq n_0$, $\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_{in}-1\right|<\epsilon$.

Utilizando la fórmula para el momento de generación de la función de chi-cuadrado de la variable aleatoria, y la expansión en series de Taylor de $\log(1-x)$$x=0$, no llego a los medios:

$$\begin{array}{rcl}E[X_{in}]&=&\exp\left[\mathcal{O}\left(\sqrt{\frac{(\log n)^{3a}}{k}}\right)\right]\approx1, \text{ when }i\neq S\\ E[X_{Sn}]&=&\exp\left[-\frac{k}{2}\log\left(1-2f(n)\right)-k\left(\frac{f(n)}{1+f(n)}+\left[\frac{f(n)}{1+f(n)}\right]^2\right)\right]\\ &=&\exp\left[kf^2(n)+\mathcal{O}\left(\sqrt{\frac{(\log n)^{3a}}{k}}\right)\right]\\ &\approx&e^{(\log n)^a} \end{array}$$ El segundo de los momentos se calculan de forma similar: $$\begin{array}{rcl}E[X_{in}^2]&=&\exp\left[-\frac{k}{2}\log\left(1-\frac{4f(n)}{1+f(n)}\right)-2k\left(\frac{f(n)}{1+f(n)}+\left[\frac{f(n)}{1+f(n)}\right]^2\right)\right], \text{ when }i\neq S\\ &=&\exp\left[2kf^2(n)+\mathcal{O}\left(\sqrt{\frac{(\log n)^{3a}}{k}}\right)\right]\\ &\approx&e^{2(\log n)^a}\\ E[X_{Sn}^2]&=&\exp\left[-\frac{k}{2}\log\left(1-4f(n)\right)-2k\left(\frac{f(n)}{1+f(n)}+\left[\frac{f(n)}{1+f(n)}\right]^2\right)\right]\\ &=&\exp\left[4kf^2(n)+\mathcal{O}\left(\sqrt{\frac{(\log n)^{3a}}{k}}\right)\right]\\ &\approx&e^{4(\log n)^a} \end{array}$$ Usando la desigualdad de Chebyshev, es sencillo demostrar que para cualquier $\epsilon>0$, $\delta>0$, existe $n_0$ tal que para todos los $n\geq n_0$, $P\left(\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i-1\right|>\epsilon\right)<\delta$, pero tenía la esperanza de obtener un mayor resultado. La discusión en las respuestas y comentarios es desalentador, sin embargo.

Answer 1

(Si quieres un contraejemplo, voy a ampliar este a una respuesta completa. De lo contrario, por favor, dar más información acerca de su particular secuencia $X$.)

Esto no acaba de celebrar sin extra de hipótesis sobre la secuencia de $X$. Revisión b=1, a=1/2. Vamos

$$p_n = e^{-\sqrt{\log n}}$$ y $$ x_n = e^{2\sqrt{\log n}}.$$

Deje $X_n$ $x_n$ con una probabilidad de $p_n$ $0$ lo contrario. $X_n$ tenga la media y el segundo momento. Ahora nos gustaría mostrar que la SLLN no tienen para esta secuencia.

Fix $n\in\mathbb{N}$, lo suficientemente grande. Un cálculo simple muestra que $$ \mathbb{P}\left[\sum_{m=n(1-e^{-\sqrt{\log n}})}^nX_m \ge \frac n 2\right ] \ge \frac 1 2,$$

a partir de la cual se deduce que $$\limsup_n \frac {X_n} n \ge \frac 1 2,$$ una.s., por la segunda Borel-Cantelli Lema.

Answer 2

Edit: Como Ahriman señala, el $X_i$ son no idéntico para $i<n$ desde $E[X_i^2]$ depende de $n$. La respuesta que doy sólo se aplica para $X_i$ idénticos para $i<n$.

Sí. Por la costumbre SLLN, usted tiene $$\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1} X_i\overset{a.s.}{\longrightarrow}\mu$$ y desde $\frac{n-1}{n}\to 1$$\frac{1}{n} X_n\to 0$.s., de ello se sigue que $$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i= \frac{1}{n}X_n + \frac{n-1}{n}\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1} X_i\overset{a.s.}{\longrightarrow} 0+1\cdot\mu=\mu.$$